Orthogonalität, Umlegung projizierender und nichtprojizierender Räume usw. 71 
pendikels; und wenn nun P in dieser Ebene den Kreis vom Mittel 
punkt Q beschreibt, so bleibt PQ immer das aus P auf lg gefällte 
Lot und immer gleich lang, d. h. P rotiert um lg herum. Liegt nun 
etwa P insbesondere gerade auf dem einen Schenkel des Neigungs 
winkels cp, so liegt nach dem Obigen Q auf dem andern, und es bleibt 
also bei der Rotation CQ immer die Projektion von CP, während 
auch Z. PCQ konstant bleibt. Nun kann aber die relative Lage der 
beiden Ebenen, welche die Folge ist einer gewissen Rotation von 2 g 
um lg, natürlich auch erhalten werden durch die gerade entgegen 
gesetzte Rotation von 1 s um 2 s, und dann würde sich zeigen, daß 
CP fortwährend die Projektion von CQ bleibt; es bleibt also bei der 
Rotation der einen Ebene um die andere jeder Schenkel die Projektion 
des andern, und auch die Größe des Winkels ändert sich nicht. Und 
hieraus ergibt sich, daß sämtliche Ebenen, welche mit lg die näm 
lichen Winkel cp und y.> bilden, in einem gewissen Rotationskegel 
raume enthalten sind mit der Axial ebene lg. Allein dieser Kegel hat 
die eigentümliche Eigenschaft, daß er noch eine zweite Axialebene 
besitzt, nämlich 1 s tl ; denn die Ebene 2s, von der wir ausgegangen 
sind, bildete mit lg“ die Winkel 90° — cp und 90° — ^; rotiert nun 
diese Ebene um 1 s H , so bleiben diese Winkel ungeändert, dann aber 
bleiben die Winkel der rotierenden Ebene mit lg ebenfalls ungeändert, 
und es rotiert also 2s um lg und lg“ zugleich, oder es entsteht der 
Kegelraum sowohl durch Rotation um lg“ wie durch Rotation um lg. 
Was nun im allgemeinen Falle zweier ungleicher Neigungswinkel 
gilt, gilt natürlich auch für cp = yj; es bilden also die zu einem 
Winkel cp gehörigen Ebenen einen Rotationskegelraum mit 
den Axialebenen lg und lg“. 1 ) 
9 Einer freundlichen Mitteilung des Herrn Prof. Schoute verdanke ich die 
Gleichung dieses Kegels, sowie die Bemerkung, daß derselbe sich bereits findet in 
W. A. Wythoffs Inauguraldissertation: „De Biquaternion als bewerking in de 
Ruimte van vier Afmetingen.“ Amsterdam, Ipenbuur & Yan Seldam, 1898. S. 93. 
Hat Ir die Gleichungen ^, = 0, cc 2 = 0, also 1 s» die Gl. x 3 = 0, x 4 = 0 und 2s 
die Gl. x, — a x 3 -)- b x 4 , x 2 — c x s - r dx 4 , so findet man für die beiden Winkel 
von 1« und 2s die Gleichung (P. H. Schoute, 1. c. S. 177): 
tgifp _ ( a 2 ¿2 _j_ c 2 ¿2) tgV -{-(ad — bc) 2 = 0 . 
Die Diskriminante (a 2 -f b 2 -f c 2 + d 2 ) 2 — 4(arZ — bc) 2 dieser Gleichung läßt 
sich leicht auf die Form bringen: 
[(« + d) 2 + (b - c) 2 ] [(« - d)* + (6 + c) 2 ], 
und es sind also die Bedingungen für zwei gleiche Winkel: d= —a, c~b 1 oder 
cl = a, c — —b. Die Winkel selbst ergeben sich in beiden Fällen aus der 
Gleichung: 
tg 2 9? = a 2 -|- b 2 ,