Orthogonalität, Umlegung projizierender und nichtprojizierender Räume usw. 73 
zwei solche Systeme, entsprechend den beiden Regelscharen jedes 
Hyperboloids. Gehören zwei Ebenen zum nämlichen Kegelraum, also 
ihre Fluchtlinien zum nämlichen Hyperboloid, so ist leicht zu ent 
scheiden, ob sie zum nämlichen Systeme gehören oder nicht; im ersten 
Falle sind die Fluchtlinien windschief, im zweiten schneiden sie sich; 
aber wenn die Ebenen zu verschiedenen Winkeln gehören, so sind die 
Fluchtlinien immer windschief, denn zwei Neigungshyperboloide haben 
keine reellen Punkte gemein; es fragt sich also, wie in diesem Falle 
die Zusammengehörigkeit oder Nichtzusammengehörigkeit konstatiert 
werden kann. Um hierüber Klarheit zu gewinnen, bemerken wir, daß 
es noch eine andere Gruppierung der Fluchtlinien der zu Itf gleich 
geneigten Ebenen gibt als nach der Größe des Neigungswinkels cp, 
die tatsächlich schon beim Studium der Figur 25 hervorgetreten ist, 
und die wir hier in spezieller Form wiederfinden. Die Fluchtlinie 
von itf selbst ist offenbar ihre unendlich entfernte Gerade g^, die 
jenige ihrer vollständig normalen Ebene ist C x 0 2 ; ist nun q 0 die Flucht 
linie irgend einer zum Winkel cp gehörigen und zu Pf gleichgeneigten 
Ebene, ihre Antipolare, so liegen den Erörterungen am Anfänge 
des jetzigen Paragraphen zufolge die vier Geraden g^, C x C 2 , r/ 0 , q¡¡ 
auf einem Hyperboloid, welches also hier die Gestalt eines hyper 
bolischen Paraboloides annimmt; sämtliche Gerade derjenigen Regel 
schar, zu der auch g^ gehört, sind die Fluchtlinien von zu verschie 
denen Winkeln gehörigen, aber zu itf gleichgeneigten Ebenen, und 
sämtliche Gerade der andern Schar, die hier also parallel Pf ver 
laufen, sind die Fluchtlinien der zugehörigen Neigungsebenen; und das 
Prinzip der Gruppierung, das wir hier befolgt haben, ist also dieses, 
daß wir alle diejenigen zu gleichgeneigten Ebenen zusammen 
genommen haben, deren Neigungswinkel in den nämlichen Ebenen 
enthalten sind; es ist klar, daß alle diese Ebenen samt ihren Neigungs 
ebenen wieder einen quadratischen hyperboloidischen Kegelraum er 
füllen, ähnlich wie oben schon. Wir zeigen nun, daß wenn q 0 um 
C X C 2 rotiert und also die eine Regelschar des zum Winkel cp ge 
hörigen Neigungshyperboloides durchläuft, das hyperbolische Paraboloid 
ein Büschel erzeugt. 
Zunächst wissen wir, daß alle hier in Betracht kommenden Para 
boloide die beiden Geraden g^ und C x C 2 gemein haben;, wir zeigen 
nun, daß sie noch zwei andere Gerade gemein haben, welche die 
beiden zuerst genannten schneiden. 
Die Neigungshyperboloide bilden ein Büschel (§ 6), dessen Basis 
kurve aus den vier imaginären Schnittlinien der beiden durch C X C 2 
hindurchgehenden isotropen Ebenen x 2 -]- y - — 0 mit den beiden zu