Einleitung.
§ 1. Grundoperationen an ganzen Zahlen.
1. Den Begriff der ganzen Zahl will ich als bekannt voraussetzen.
Wir wissen, daß die ganze Zahl entweder angibt, wieviel verschiedene
Gegenstände in einer Sammlung sind, oder daß sie die Stelle be
zeichnet, die ein Gegenstand in einer bestimmten Reihe einnimmt.
Auch beim Dezimalsystem will ich mich nicht länger aufhalten.
Letzteres erlaubt uns nämlich, irgendeine Zahl auf sehr einfache
Weise darzustellen. Obschon wir dasselbe tagtäglich benutzen, so
dürfen wir doch nicht vergessen, daß das ihm zugrunde liegende
Prinzip in seiner Einfachheit bewunderungswürdig ist.
Die Eigenschaften der Grundoperationen der Arithmetik lassen
sich aus dem Begriff der ganzen Zahl auf rein logischem Wege ab
leiten. Vom wissenschaftlichen Standpunkte aus betrachtet verdient
diese Art der Ableitung jedenfalls den Vorzug. Ich möchte jedoch
dem Leser raten, die Operationen in ein konkretes Gewand zu kleiden.
Man ersetze die abstrakten Zahlen durch eine Anzahl Gegenstände,
z. B. Kugeln oder Punkte, und die Operationen selbst durch Mani
pulationen an diesen Gegenständen. Auf diese Weise werden sowohl
der Sinn als die Grundeigenschaften der Operationen sofort klar zu
tage treten.
2. Liegen z. B. mehrere Zahlen vor, und ist jede der Zahlen auf
die oben angegebene Weise durch eine mit Kugeln gefüllte Urne
dargestellt, so wird man diese Zahlen addieren, indem man sämtliche
Kugeln in einer einzigen Urne vereinigt. Die Anzahl der Kugeln
in dieser Urne stellt die Summe der vorgelegten Zahlen dar. Die Summe
zweier oder mehrerer Zahlen bleibt bei Änderung der Reihenfolge
unverändert, ebenso wie die Anzahl von Gegenständen in einer Samm
lung unverändert bleibt, wenn ich diese Gegenstände in anderer
Reihenfolge zähle. Eine Zahl bleibt unverändert, wenn man der
selben Null hinzufügt. Man kann die Kugeln von einer größeren
Anzahl der oben gegebenen Urnen in eine einzige Urne zusammen
schütten, ehe man sie alle in der Haupturne vereinigt; arithmetisch
Tannery-Klaess, Elemente der Mathematik. 1
