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Einleitung. 
Wenn man den Dividend und den Divisor mit derselben Zahl A 
multipliziert, so ist der Quotient der Produkte gleich dem Quotienten 
der beiden ursprünglichen Zahlen (Dividend und Divisor); der Rest 
der neuen Division ist das Produkt des ursprünglichen Restes mit 
der Zahl A. 
Wenn der Dividend und der Divisor durch dieselbe Zahl A teil 
bar sind, ist der Rest es auch; dividiert man den Dividend und den 
Divisor durch diese Zahl, und beginnt man dann die Division von 
neuem, so bleibt der Quotient derselbe, der Rest aber ist durch die 
Zahl A dividiert. 
§ 2. Verhältnis zweier Größen. — Gewöhnliche Brüche. 
Verallgemeinerte Brüche. 
12. Die ganzen Zahlen dienen nicht nur dazu, Gesamtheiten 
verschiedener Gegenstände zu zählen, sie ermöglichen es auch, stetige 
Größen, wie Länge, Zeit u. a. wenigstens annähernd zu berechnen. 
Ich werde in meinen Beweisführungen gewöhnlich mit Längen 
von begrenzten geraden Linien operieren; der Leser wird jedoch 
leicht erkennen, daß diese Beweisführungen sich fast ohne Abänderung 
auf andere Arten von Größen anwenden lassen, Größen, von denen 
man weiß, was man sich unter zwei gleichen Größen und der Summe 
oder dem Unterschied zweier Größen vorzustellen hat, was es endlich 
bedeutet, wenn man sagt, daß man eine Größe in eine gewisse Anzahl 
gleicher Teile teilt. Alle diese Begriffe sind vollständig klar, wenn 
es sich um begrenzte gerade Linien (oder geradlinige Strecken) han 
delt: die Summe der Längen mehrerer Strecken erhält man, indem 
man sie aneinanderreiht, der Unterschied zweier Strecken P, Q, von 
denen die erstere größer sein soll als die zweite, ist eine Strecke P, 
die man zu Q hinzufügen muß, um P wieder zu erhalteu; es ist also 
nicht schwierig, dieselbe zu konstruieren. 
13. Betrachten wir eine geradlinige Strecke A\ um deren Länge 
zu messen, nimmt man als Einheit eine bestimmte Größe derselben 
Art, eine Strecke B (ein Meter, ein Zentimeter . . .), und trägt diese 
Einheit B auf die Strecke A, in 
A * *" ‘ * * " ununterbrochener Aufeinander- 
folge vom Anfangspunkte an 
Fi g . 2. auf; auf diese Weise kann es 
Vorkommen, daß die Strecke A 
durch eine gewisse Zahl von Längen B ganz genau bedeckt wird; 
diese ganze Zahl ist dann das Maß der Länge A. Für nebenstehende