YIII. Kapitel. 
Flächen; Volumen; Elemente der Integralrechnung. 
§ 1. Flächenbereclmimg. 
288. Wir wollen uns auf ein Blatt Millimeterpapier eine geschlossene 
Kurve zeichnen und die Fläche, welche diese Kurve einschließt, zu 
berechnen suchen. Zuerst müssen wir eine Längen- und eine Flächen 
einheit bestimmen. Gemäß den in Nr. 150 angeführten Regeln muß 
man als Flächeneinheit das Quadrat der angenommenen Längeneinheit 
wählen, das Quadratdezimeter z. B., wenn das Dezimeter unsere Längen 
einheit ist. In diesem Falle wird die Fläche eines Rechteckes durch 
das Produkt der Zahlen gemessen, welche die Länge der beiden 
Dimensionen darstellen. 
Auf dem Millimeterpapier sind die Einteilungen in Quadrat 
zentimeter gezeichnet. Der Leser braucht nur ein wenig Geduld zu 
haben, um all die Quadratzentimeter zu zählen, welche innerhalb des 
Kurvenzuges liegen.*) Hierunter verstehe ich nur diejenigen Quadrat- 
Zentimeter, die ganz im Innern liegen. Ferner muß man auch die 
jenigen mitzählen, welche mit der Kurve verschiedene Punkte gemein 
sam haben, jedoch nicht über diese hinausgehen. Nehmen wir an 
der Leser zähle auf diese Art und Weise 232 Quadratzentimeter, 
welche innerhalb des Kurvenzuges liegen: man kann alsdann sagen, 
die gesuchte Fläche enthalte 232 Quadratzentimeter, oder auch die 
Zahl 2,32**) stelle den annähernden Wert der Fläche dar, wenn das 
Quadratdezimeter als Einheit genommen ist. Dieser Wert ist jedoch 
zu klein. Um eine obere Grenze des begangenen Fehlers zu erlangen, 
genügt es, die Quadratzentimeter, welche der Kurvenzug durchquert, 
mitzuzählen. Diejenigen jedoch, welche er nur streift und deren 
Punkte alle außerhalb liegen, zählt man nicht mit. Augenscheinlich 
*) Dieses Zählen wird dadurch erleichtert, daß jeder fünfte Strich stark 
ansgezogen ist. Das Blatt ist also in Quadrate von 5 Zentimeter Seitenlange 
eingeteilt, wovon ein jeder 25 □ cm enthält. 
**) Es ist kaum nötig, zu bemerken, daß auf dem Blatte selbst, wie der Leser 
sogleich bemerkt, das Quadratdezimenter in 100 Quadratzentimeter zerfällt, und 
das Quadratzentimeter in 100 Quadratmillimeter.