IX. Kapitel. 
Grenzwerte. Unendlich kleine Größen. 
Bestimmtes Integral. Reihen. 
§ 1. Grenzwerte. 
312. Das Wort Grenzwert ist selir oft im Laufe dieses Werkes 
gebraucht worden, und zwar in einer Bedeutung, die für jeden einzelnen 
Fall verdeutlicht werden mußte. Die Bedeutung, die man diesem 
Worte in der Geometrie beilegt, wollen wir übergehen. Dort ge 
braucht man oft die Ausdrucks weise: eine veränderliche Figur (F) 
hat unter gewissen Bedingungen als Grenzwert eine unveränderliche 
Figur (F 0 ). Handelt es sich um Zahlen, so versteht man unter 
Grenzwert einer veränderlichen Zahl A immer eine unveränderliche 
Zahl A 0 , welcher die veränderliche Zahl A sich unter immer näher 
zu spezifizierenden Bedingungen unendlich nähert: unter diesen Be 
dingungen wird der Unterschied A 0 — A beliebig klein an absolutem 
Wert; er ist selbst eine veränderliche Zahl, die als Grenzwert die 
feste Zahl 0 hat. 
313. Gewöhnlich ist die Veränderliche A eine Funktion f(x) 
einer gewissen Veränderlichen x; diese Veränderliche kann z. B. Werte 
annehmen, welche beliebig nahe an eine feste Zahl x Q herankommen, 
oder sie kann beliebig groß werden. Es können übrigens verschiedene 
Fälle ein treten. Nimmt man z. B. den ersten Fall, so kann es Vor 
kommen, daß die Veränderliche x sich dem Werte x 0 nähern kann 
durch obere und untere Näherungswerte, durch obere oder untere 
Näherungswerte; es kann auch der Fall ein treten, daß x nur bestimmte 
Werte, etwa x 0 -J- —, x 0 -j- ^ , annehmen kann (wobei n eine beliebig 
große, natürliche Zahl bedeutet). Im besonderen ist es möglich, daß 
die Funktion f(oc) nur für Werte dieser Form definiert sei. In jedem 
Falle müssen die Werte, welche x bei seiner Annäherung an x 0 an 
nehmen kann, spezifiziert werden; unerläßliche Bedingung, um von 
Grenzwert reden zu können, ist aber jedenfalls, daß sich unter diesen 
Werten deren befinden, die beliebig wenig von x Q verschieden sind.