Einleitung. 
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Strecke nickt in die rot gefärbte kinübergreifen. Nun gibt es aber 
blaue und rote Punkte, die beliebig nake aneinander liegen: Die End 
punkte der Längen 3 und 4 sind 1 m voneinander entfernt; die 
Endpunkte der Längen 3,1 und 3,2 sind 1 dm, diejenigen der Längen 
3,14 und 3,15 sind 1 cm voneinander entfernt usw. Es kann also 
kein weißer Zwisckenraum zwiscken der roten und der blauen Strecke 
bleiben: es kann bloß ein Punkt sein. Die Entfernung vom Punkte 0 
zu diesem Punkte ist die gesuckte Länge. Die Zahlen der ersten 
Reike sind zu klein, die der zweiten zu groß. Die Fekler sind 
kleiner als 
1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; . . . 
69. Der Vollständigkeit kalber müßte man nock die Grund 
operationen an Irrationalzaklen definieren.*) Allein es genügt, zu 
wissen, daß diese Operationen stets an Näkerungswerten vollzogen 
werden und daß die Resultate beliebig genau sind: im besondern ist 
darauf kinzuweisen, daß Gleickkeiten, in denen Irrationalzaklen, wie 
it z. B., Vorkommen, im Grunde genommen nickt ricktig sind, sobald 
man 7t durck einen Näkerungs wert ersetzt. Aber der Unterschied 
zwiscken den beiden Seiten der Gleichheit wird beliebig klein werden, 
sobald man die vorkommenden Irrationalzaklen durck genügend genaue 
Näherungswerte ersetzt. 
§ 5. Relative Zahlen. Grundoperationen au diesen Zahlen. 
70. Der Leser möge sich eine gerade Landstraße vorstellen, die 
mit Kilometersteinen besetzt ist und sich beispielsweise von Süden 
nach Norden erstreckt. Einer von diesen Marksteinen, den wir als 
Ausgangspunkt wählen, ist durch 0 bezeichnet; der erste Stein, dem 
man begegnet, wenn man in nördlicher Richtung geht, ist l n , der 
zweite 2 n , der dritte 3 n . . . gezeichnet; desgleichen, wenn man vom 
Markstein 0 aus in südlicher Richtung geht, sind die aufeinander 
folgenden Steine sukzessiv 1^., 2 S , 3 S . . . gezeichnet. So oft ein Fuß 
gänger, der diese Konventionen kennt, vor einem dieser Kilometer- 
*) Der Begriff des Messens diente dazu, die Operationen an Brüchen zu 
definieren; sind zwei Irrationalzahlen a, h die Maßzahlen zweier Längen A 
und jB, so wird die Summe oder der Unterschied dieser zwei Zahlen die Maß 
zahl der Summe oder des Unterschiedes der zwei Längen A, B sein. Was das 
Produkt und die Division anbelangt, so könnten die in den Nummern 34 und 41 
abgeleiteten Sätze als Definitionen dieser Operationen angesehen werden; wie 
man aber auch verfahren möge, eines ist unerläßlich für die Strenge der Beweis 
führung: zu zeigen, daß die Eigenschaften der Operationen an ganzen Zahlen 
und Brüchen gültig bleiben für Irrationalzahlen.