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BEMERKUNGEN ÜBER DIE ANALYTISCHEN FACULTÄTEN. 
der Bedingung (18.) genügt, und wird 
(19.) 
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gesetzt, so besitzt diese Function die durch, die Gleichungen (1.), (2.), (3.) aus 
gedrückten Eigenschaften. Es kann daher (w, + x) y , ohne aufzuhören, den ge 
nannten Gleichungen zu genügen, gleich wie unendlich viele verschiedene 
Formen annehmen. Zugleich ist aber auch durch die Formel (19.) die all 
gemeinste Bestimmung von (u^ + xy gegeben. 
Hierdurch ist nicht nur die ausgesprochene Behauptung, es seien die 
Gleichungen (1.), (2.), (3.) nicht hinreichend, um (m, + <z , ) ?y vollständig zu bestim 
men, gerechtfertigt, und die Nothwendigkeit nachgewiesen, in die Definition der 
Facultät noch eine, in jenen Gleichungen nicht enthaltene Bestimmung auf 
zunehmen; sondern es ergiebt sich auch daraus, dass die Schlüsse, durch 
die man aus den Gleichungen (1.), (2.), (3.) völlig bestimmte Darstellungen von 
(w, hergeleitet hat, nicht fehlerfrei sein können und daher einer Revision 
bedürfen. 
§ 3. 
Ehe ich aber die verschiedenen von Crelle u. a. entwickelten Formeln in 
dieser Rücksicht durchgehe, will ich auf einen bisher, wie es scheint, ganz 
übersehenen Umstand aufmerksam machen, aus dessen Nichtbeachtung grosse 
Irrthümer hervorgehen können und wirklich hervorgegangen sind. Ich bemerke 
zuvor, dass ich mich bei allen folgenden Entwickelungen auf reelle Werthe 
der Basis, der Differenz und des Exponenten beschränke. Denn wenn es auch 
nicht schwer ist, auch imaginäre Werthe dieser Veränderlichen mit in Betracht 
zu ziehen, so würde das doch einige vorläufige Erörterungen nöthig machen, 
die hier der Raum nicht gestattet. 
Setzt man in den Gleichungen (1, 3) x = 0, so erhält man 
(20.) («, + 0)» +i = («, + Of («, + 0)* 
(21.) (u, + 0) 1 = u. 
Hieraus ergiebt sich, dass 
(22.) (u, + 0) ?y = u y 
sein muss. Aber man darf daraus nicht schliessen, dass (w, -f#) 2 ', wenn der