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BEMERKUNGEN ÜBER DIE ANALYTISCHEN FACULTÄTEN. 
oder wenn man 
(30.) 
«H— y— i) _ U— y) _ 
(— 1 f sin yiz (— l) y sin t/rr 
(31.) 
genügt, 
setzt, wo dann cp gleich wie cp der Bedingung 
(3i.) <p(y) = viy- 1 ) 
(32.) 
(u, — xf = 
Mithin 
Hieraus ergiebt sich ebenso wie vorhin, dass ^1,— wenn p unendlich gross 
wird, nur dann einer bestimmten Grenze sich nähert, wenn die Function cp 
sich auf eine Constante reducirt. 
Da nun cp und cp nicht zugleich constant sein können, so folgt, dass der 
Werth von (l,+#) ?y , und daher auch 
falls entweder für einen positiven, oder für einen negativen unendlich kleinen 
Werth von x unbestimmt bleibt. Die Function (w, + x) y ändert sich also in 
der Nähe von x = 0 nicht stetig.*) 
Zu bemerken ist jedoch hierbei, dass dies nur gilt, wenn y keine ganze 
Zahl ist. Denn in diesem Falle ergiebt sich aus (18.) und (31.) 
(34.) <KM±y) = <K W )> <?0±y) = ?(«)» 
und die Functionen cp, cp fallen aus den Ausdrücken für (?/, +Fp und (w,— x) y fort. 
§ 4. 
Nach dem im § 2 Gesagten ist es zur vollständigen Definition der 
Facultät noch nöthig, hinsichtlich der Function cp eine Bestimmung zu treffen. 
Eine solche ist, wie so eben nachgewiesen, enthalten in der Annahme, dass 
*) Die hierdurch als unzulässig sich herausstellende Voraussetzung, es sei (u, + x)- 1 sowohl fiir 
einen positiven als negativen unendlich kleinen Werth von x unendlich wenig von u y verschieden, hat zum 
Theil Schuld an den Widersprüchen und paradoxen Resultaten, auf die man in der Theorie der Facultäten 
gerathen ist. — Auch ergiebt sich aus dem Gesagten die Unmöglichkeit, (u, + x) y nach ganzen Potenzen 
von x in eine convergirendo Reihe zu entwickeln.