96 BEMERKUNGEN ÜBER DIE ANALYTISCHEN FACULTATEN.
die Formel
(40.) (t, + h,+xf = («, +.xf j 1 + y,~+ !/,*[* + *]+-• + 9. [* ’ + *]» J + -B.,
wo durch y , y. u. s. w. die Binomial-Coefficienten bezeichnet sind. Der nach
dem raten Gliede hinzugefügte liest R n ist ein Ausdruck, welcher entwickelt
die vorstehende Gleichung zu einer identischen macht. In so fern ist sie, die
einzig aus den Gleichungen (1.), (2.), (3.) hergeleitet worden, für alle möglichen
Arten von Facultäten, welche diesen Gleichungen entsprechen, gültig. In wie
fern sie aber grade für die besondere Art, die hier betrachtet wird, eine
convergirende Entwickelung gehe, bedarf noch einer nähern Untersuchung.
Diese kann aber nicht nach den von Grelle (Th. d. f., § 23) gegebenen Be
stimmungen durchgeführt werden. Nach derselben würde die von ihm mit
dem Namen der allgemeinen Taylor sehen Reihe bezeichnete Formel
(41.) F(*+i) = F(*) + AiF(*) + ^|^lA'F( a; ) + ... + («) + JL.
wo Ao7 = a gesetzt ist, immer dann eine convergirende Entwickelung von
F (x + /.") geben, sobald der grösseste und der kleinste Werth des (w+l)ten
Gliedes dieser Reihe für die verschiedenen Werthe des Arguments der Function
F von x bis x + Jc beide für n — oo auf Null sich reducirten. Dieser Satz ist
aber hergeleitet aus einer Bestimmung der Grenzen von J? M , welche, wie
Grelle selbst in einer späteren Abhandlung über diesen Gegenstand bemerkt
hat, nur dann gültig ist, wenn ^ eine ganze positive Zahl ist. Seine An
wendbarkeit ist daher zweifelhaft, wie sich auch leicht auf folgende Weise
nachweisen lässt. Denn gesetzt, die Reihe (41.) sei, nachdem für « ein be
stimmter Werth gewählt worden, für eine gewisse Form der Function F wirk
lich convergent, und es sei &(F) eine Function, die für keinen Werth von x
unendlich gross wird, und der Bedingung
(42.)
^ + a) = <K»)
genügt, z. B. eine ganze Function von cos ~ iz und sin — Tt; so würde die Reihe
für <j>(# + /v)F(# + Ä), da man alsdann
(43.) Ä’\^(aOF(a:) ==
hat, zugleich mit der für F (# + />*) convergiren, wenn der in Rede stehende
