S 
ümipi 
106 
REDUCTION EINES BESTIMMTEN DREIFACHEN INTEGRALS. 
haben. Führt man nun bei der Integration u, v, w statt a?, .y, 2 als veränder 
liche Grössen ein, so muss man, da 
Adx 2 +Bdy 2 +Cdz*+2Ddydz + 2Edzdx + 2Fdxdy — A (du 2 +dv 2 +dw 2 ) 
ist, nach den Regeln für die Transformation vielfacher Integrale 
dx dy dz durch du dv div 
ersetzen, wo G die Determinante 
ABC-AD 2 -BE 2 -CF 2 + 2DEF 
der quadratischen Form r 3 bedeutet. Demnach wird 
-um f (r, u) du dv dw, 
wo sich jetzt die Integration über alle diejenigen Werthe von w, v, w er 
strecken muss, für welche 
\A • ^u 1 + v 2 + iv 2 
ist. Alle diese Werthe erhält man aber, wenn man 
u = JL COS cp, V — sin cp cos , 10 = -^= sin cp sin ^, r = s 
V A VA V* 
setzt und cp alle Werthe zwischen 0 und tc , cj> alle Werthe zwischen 0 und 2it, 
s alle Werthe zwischen a und b durchlaufen lässt. Führt man nun s y cp, cj; 
statt u,v,w ein, so ist 
du 2 + dv 2 + dw 2 = -i-(ds 2 + s 2 dcp 2 -f s 2 sincp 2 dcp*), 
A 
und es muss dudvdw durch ~= sin cp ds dy d^ ersetzt werden, wodurch man 
5= fifw f ^ w‘ 0031 ^ sin9 ‘ ds '** 
erhält, oder