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BEITRAG ZUR THEORIE DER ABEL SCHEN INTEGRALE. 
Zeit mit dieser Theorie und namentlich mit der Hauptaufgabe, die von Jacobi 
eingeführten umgekehrten Functionen der Abel'sehen Integrale erster Art 
wirklich darzustellen. Es ist mir gelungen, diese Aufgabe vollständig zu 
lösen, auf einem Wege, welcher von dem bisher von Göpel u. A. betretenen 
gänzlich verschieden ist. Ich gehe nämlich unmittelbar von den Integral- 
Gleichungen aus, durch welche jene Functionen definirt werden, und zeige 
zunächst, mit Hülfe des Abel’schen Theorems, dass sie sämmtlich Wurzeln 
einer und derselben algebraischen Gleichung sind, deren Coefficienten ich sodann 
durch eine Anzahl von Hülfsfunctionen ausdrücke, welche den sogenannten 
0-Functionen, auf welche Jacobi die elliptischen Functionen zurückgeführt 
hat, vollkommen analog sind, und gleich diesen durch unendliche, nach einem 
einfachen Gesetze gebildete und beständig convergirende Reihen dargestellt 
werden können. Diese Reihen - Entwickelungen gewinne ich, indem ich für 
die genannten Hülfsfunctionen mehrere charakteristische Eigenschaften nack- 
weise, durch welche sie vollständig bestimmt werden. Dazu aber ist die 
Kenntniss der Relationen, welche der Gegenstand des gegenwärtigen Auf 
satzes sind, ein wesentliches Erforderniss. Nun hat zwar der Weg, den ich 
bei Behandlung der Abel’sehen Transcendenten eingeschlagen, das Eigen- 
thümliche, dass man auf ihm selbst in ungesuchter Weise zu jenen Relationen 
geführt wird, wie ich sie denn in der That auch so zuerst gefunden habe. 
Es ist aber diese Art der Herleitung einigermassen umständlich, indem nament 
lich die Bestimmung einiger Constanten Weitläufigkeiten macht. Um so er 
wünschter war es mir, in einem von Abel in der Abhandlung: Sur une pro 
priété remarquable d’une classe très-étendue de fonctions transcendantes 
(Œuvres complètes, Tome II, pag. 54) begründeten Theoreme, durch welches 
die bekannten Sätze über die Vertauschung von Parameter und Argument bei 
der dritten Art der elliptischen Integrale eine sehr bemerkenswerthe Ver 
allgemeinerung erhalten, die eigentliche Quelle zu entdecken, aus der die in 
Rede stehenden Relationen, so wie noch andere weit allgemeinere, auf eben 
so einfachem als directeur Wege abgeleitet werden können.