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ZUR THEORIE DER ABEL SCHEN FUNCTIONEN. 
eine ganze Function (2w + l) ten Grades; wobei ich zunächst annehme, es seien 
die Grössen a 0 , <*,, ... fl Jn sämmtlicli reell und so geordnet, dass 
a 0 > a, > a 2 > ... > a 2n 
ist. 
Ich zerlege nun R(x) in die zwei Factoren 
PO) = (x-a 1 )(x-a a )...(x-a tn _ l ) und Q(x) = (x-%){x-a t ) ...{x-aj, 
und stelle, indem ich u,, w 2 , ... M n als unbeschränkt veränderliche Grössen, 
# a? , ... a? n aber als Functionen derselben betrachte, den Zusammenhang 
zwischen diesen 2?i Veränderlichen durch nachstehende n Gleichungen dar: 
u, = 
u 0 = 
u„ = 
PO) 
dx 
ÍC — dj 
2 \JR 0) 
PO) 
da: 
x-a 3 
2\/PO) 
PO) 
dx 
^ a 2»l-l 
2 \jR(x) 
P(x) dx ^ PO) dir 
’2V®p + ” *-“■ ' *\ÍW) 
P(x) dx ^ 4 Г Хл P(x) dx 
*-«. ' Щ + ""' 4„-, ‘ 2 VS® 
PO) dir + Г х » PO) da? 
+ " ' + 4 !> _ i ' 2 VS® 
J 
Nun begründe ich, mit Hülfe des Abel’sehen Theorems, ausführlich den 
der Hauptsache nach bereits von Jacobi ausgesprochenen Satz, welchen ich 
als Fundament der ganzen Theorie betrachte; nämlich, dass zwar für gegebene 
Werthe von а?, д? , ... a? die Grössen « , w s , ... ?/ ;i unendlich viele verschiedene 
Werthe haben, umgekehrt aber, wenn w,, w 2 , ... w, gegeben sind, die Werthe 
von «r,, a? 2 , ... a? n , so wie auch die zugehörigen Werthe von \/POi)’ V^O»)> • • • 
\jR(x n ), völlig bestimmt sind. Und zwar sind о?,, «r 8 , ... a? n die Wurzeln 
einer Gleichung w ten Grades, deren Coefficienten völlig bestimmte 
eindeutige Functionen der unbeschränkt veränderlichen Grössen 
m,, m 2 , ...w n sind, während eine zweite ganze Function von 0?, deren 
Coefficienten eben solche Functionen von w 2 , ... t/ M sind, für 
a? = a?,, a? t , ... a? n die zugehörigen Werthe von \/Roj, \/PO*)» ••• \^0J 
giebt. 
Hiernach kann jeder symmetrische rationale Ausdruck von o?,, a? fJ ... 
als eine eindeutige Function von m,, u f , ... m w betrachtet werden. Namentlich