ZUR THEORIE DER ABEL’SCHEN FUNCTIONEN.
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aber zeigt es sich, dass
(ft a X 1 ) (flß X%) . • . (ö! a X n ) ,
(wo u eine der Zahlen 0, 1, ... 2n bedeutet) das Quadrat einer solchen Func
tion ist. Ich bezeichne demgemäss, indem ich die grösseste in ~cc enthaltene
Zahl durch a ausdrücke und
(x — x 1 )(x — x 2 )...(x — x n ) = L(x)
setze,
und nenne diese so definirten (2w + l) Grössen al(w 2 , u 2 , ...) o , al^, w 2 , ...) i u. s. w.
Abel’sehe Functionen, indem sie es sind, die den elliptischen Func
tionen sin am w, Aamii vollkommen entsprechen. In Reihen nach Potenzen von
w 1? w 2 , ... u n entwickelt, haben sie folgende Gestalt:
u a + (u 1 , u 2 , .. .) 3 + (u l , U 2 j .. ,) 5 + • • • |
(3.) al(« lf w a ,
*{tl+ ( U l> U 2> •••% + ( U 1J U 2 J ••Old I*
(4.) al (u t , u 2 , .. .) 26
In diesen Formeln bedeutet a irgend eine der Zahlen 1, 2, ... w; 6 irgend eine
der Zahlen 0, 1, ... n\ und durch (u i5 w 2 , ...) ß wird eine ganze homogene Func
tion a ten Grades von (w x , w 2 , ... u n ) bezeichnet. Ich bemerke überhaupt, dass
im Folgenden a, c, so wie auch cf, c eine der Zahlen 1, 2, ... n\ f> dagegen
eine der Zahlen 0, 1, ... n bedeuten soll. Ferner ist zu bemerken, dass überall,
wo, hier und im Folgenden, die Wurzel (2 ten oder 4 ten Grades) eines positiven,
aus den Differenzen a o ~a^ a o —a 2 , ... a x — « 2 , a i — a 3 u. s. w. durch Multipli
cation und Division gebildeten Ausdrucks vorkommt, stets deren positiver
Werth genommen werden soll.
Die vorstehenden Reihen können nicht für alle Werthe von w 2 , w 2 , ...
convergent sein. Gleichwohl gehe ich von ihnen aus, indem ich die Func
tionen al(u t , u 2 , ..,) a zunächst nur für solche Werthe von w l? w 2 , ... definire,
für welche die aufgestellten Reihen sämmtlich convergiren. Darauf entwickle
ich die Haupt-Eigenschaft der so erklärten Functionen: nämlich, dass sich
die Werthe derselben, wenn an die Stelle von u i ,u 2 ,... zweitheilige Grössen
u t + v^ w 2 +u 2 , ... treten, rational durch al(w x , w 2 , ...) 0 , al(i^, w 2 , ...) , ...
