ÜBER DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FACULTÄTEN. 
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M, #, y beschränkend, festsetzte, es solle 
w 
Lim 
U = + CD 
y\ x 
1 
sein, mit der auch im Folgenden festzuhaltenden Bedingung, dass der Potenz 
u y , wenn u positiv ist, ihr reeller Werth beigelegt werde. 
Diesen Bestimmungen gemäss ergab sich ihm: 
(k) 
(l) 
u JX — Lim | (nxf ( 
n= CD V r = 0 \ 
u y ' x = Lim |(— nx) y ff ( 
n=. CO v V = Í \ 
U + VX \) 
u + yx + VX / 1 ’ 
u + yx — VX \) 
u — vx Jy 
wenn x positiv, 
wenn x negativ ist. 
Durch diese Formeln wird nun in der That für alle reellen Werthsysteme 
der Grössen w, #, y (mit Ausnahme derer, in welchen x = 0 ist) eine Function 
u yix definirt, welche die in den Gleichungen (f), (g) ausgesprochenen Eigen 
schaften besitzt und zugleich, worauf Bessel Gewicht legte, stets einen reellen 
Werth hat. 
Gegen diese Bessel’sehe Definition der Facultät ist aber Folgendes ein 
zuwenden. Die Ausdrücke auf der liechten der Gleichungen (k), (1) sind 
beide — unter der Bedingung, dass vom Gebiete der Veränderlichen x der 
Werth x = 0 ausgeschlossen werde — analytische, für beliebige (complexe 
sowohl als reelle) Werthe der Veränderlichen u, x, y definirte Functionen. In 
der Bestimmung, dass u y,x für positive Werthe von x durch den ersten Aus 
druck — zu welchem man mit Nothwendigkeit gelangt, wenn man von den 
Gleichungen (f), (h) ausgeht —, für negative Werthe von x aber durch den 
zweiten Ausdruck, der eine ganz andere Function ist als jener, dargestellt 
werden solle, liegt also eine Willkürlichkeit, die ebenso wenig zu recht- 
fertigen ist, wie wenn man z. B. log# für positive Werthe von x auf die 
gewöhnliche Weise definiren, für negative aber log# = log(—#) annehmen 
wollte. *) Auch wüsste ich nicht, nach welchem Princip man verfahren sollte, 
um die Bessel’sehe Definition von u y][X auf complexe Werthe von # auszu- 
*) Mit Anwendung der in der Abhandlung „Zur Functionenlehre“ eingeführten Terminologie würde 
ich mich jetzt so ausdrücken: Die von Bessel definirte Facultät u y,x ist keine monogene Function ihrer 
Argumente; die beiden Ausdrücke, von denen der eine sie für positive, der andere für negative Werthe 
von x darstellen soll, sind Zweige zweier verschiedenen analytischen Functionen. (Anmerkung vom Jahre 1886.) 
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