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ÜBER DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FACULTÄTEN. 
Ans den vorstehenden Bemerkungen erhellt zur Genüge, dass die Theorie 
der analytischen Facultäten, so vielfach dieselbe auch schon behandelt worden 
ist, noch immer an wesentlichen Mängeln leidet. Diese darzulegen und zu 
beseitigen, ist der Zweck des vorliegenden Aufsatzes.*) 
1. 
Ich beginne mit der allgemeinsten Bestimmung derjenigen von drei Ver 
änderlichen u, x, y abhängigen Function /'(w, a?, y), welche den von Grelle auf 
gestellten Gleichungen 
f(u, x,y + k) = f(u, x, y) f(u + yx, x, 1c) 
f (Jeu, Tex, y) = Jc v f(u,x,y) 
f(u, X, 1) = u 
(1.) 
(2.) 
(3.) 
Genüge leistet. 
Vertauscht man in der ersten Gleichung y und k mit einander, so er 
hält man 
f(u, x,y + Je) = f{u, x, Je) f(u + Jcx, x, y), 
und wenn man hierin u—Jcx für u setzt, 
woraus ferner, indem man u—Jex — wx, also k = ~—w setzt, 
*) Der Leser wolle bemerken, dass die vorliegende Abhandlung bereits im Jahre 1854, und zwar 
auf den ausdrücklichen Wunsch Crclle’s, dem ich meine Bedenken gegen seine Theorie der Facultäten mit- 
getheilt hatte, geschrieben ist, nachdem ich einen Tlieil ihres Inhalts schon im Jahre 1843 (als Beilage 
zum Jahresbericht des Progymnasiums zu Deutsch - Crone) veröffentlicht hatte. Obwohl die Theorie 
der analytischen Facultäten in meinen Augen durchaus nicht die Wichtigkeit hat, die ihr in früherer Zeit 
viele Mathematiker beimassen, so habe ich doch die Abhandlung jetzt wieder abdrucken lassen, weil sie 
manches enthält, das auch gegenwärtig noch, wie ich glaube, angehenden Mathematikern von Nutzen sein 
kann. Wesentliche Veränderungen habe ich nicht vorgenommen; nur die Einleitung ist neu bearbeitet 
worden, weil es mir zweckmässig erschien, auf den Inhalt der kritisirten, heutzutage nicht Jedermann mehr 
zugänglichen Schriften etwas ausführlicher als ich es früher für nüthig gehalten, einzugehen. (Anmerkung 
vom Jahre 188G.)