ÜBER DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FACULTÄTEN. 
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5. 
Einige Sätze über die Convergenz und Divergenz 
unendlicher Producte. 
(I.) Wenn die Glieder einer unendlichen Reihe 
w 0 j j u t , ... 
sämmtlich reell, positiv und kleiner als Eins sind, und zugleich diese 
Reihe eine endliche Summe hat, so con ver giren die Producte 
P n = (1 — W 0 ) (1 U t ) (1 —W 2 ) • • • (1 ll n) 
Q n = (l + ^ 0 )( 1 + W 1 )(l + ti 2 ) ...(1 + U n ) , 
wenn n ohne Ende wächst, beide gegen eine bestimmte, positive Grenze; 
und zwar das erste beständig abnehmend, das andere beständig zu 
nehmend. 
Es ist klar, dass P M , Q n beständig jiositiv sind, und dass die erste 
Grösse beständig abnimmt, die andere aber zunimmt, wenn n beständig 
wächst. Es ist daher zum Beweise des aufgestellten Satzes nur nöthig, zu 
zeigen, dass P stets grösser, und Q n stets kleiner bleibt, als eine gewisse 
positive Grösse. 
Es ist, wenn a, 6, c, ... reelle und positive Grössen sind, 
(l + a)(l + &) = l + a + ^ + + « + 5 
(1 + a)(l + b) (1 + c) >■ (1 —ct -p c) l-(- & -f- b -f- c 
(1 -j- ci) (1 + 5) (1 -f- c) (1 + d) > (1 -j- ti + b -f- c) (1 + d') > 1 o> T) -\- c -}r d 
u. s. w. Dieselben Ungleichheiten bestehen auch, wenn «, &, c, d, ... sämmtlich 
negative Grössen, ihrem absoluten Betrage nach aber kleiner als 1 sind. 
Ferner kann man, wenn E irgend einen echten positiven Bruch bedeutet, 
m so gross annehmen, dass die Summe 
u m+1 + U m+2 H Ü U m+r 
für jeden Werth von r kleiner als E ist. Dies vorausgesetzt, werde n = m + r 
gesetzt, wo auch m, r ganze positive Zahlen bedeuten sollen; so ist 
P 
t> G ^m+1) G ^m+2) • ■ • G ^ ^m+i ^»¡+2 ’ * ’ ^m+r ^ Pj