ÜBER DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FACULTÄTEN. 
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und dies Product hat stets einen von Null verschiedenen Werth, wenn y 
keine ganze Zahl ist. 
Hiernach ist die Annahme, dass die Reihe 
w^jl + Cy)tU lj r(tj)zU 2 + --*j 
wenn der Grösse y ein nicht ganzzahliger Werth beigelegt wird, für irgend 
einen endlichen Werth von u convergiré, unstatthaft. 
Damit soll jedoch keineswegs behauptet werden, dass die Differenz zwischen 
(w, + l) y und der Summe mehrerer der ersten Glieder der vorstehenden Reihe, 
wenn u ohne Ende wächst, nicht kleiner werden könne, als jede gegebene 
Grösse. Indessen leuchtet ein, dass sich aus der in Rede stehenden Reihe 
hinsichtlich der Facultät (u, namentlich was das Verhalten derselben 
betrifft, wenn der Quotient ^ unendlich klein wird, ohne Betrachtung des 
Ergänzungsgliedes, welches der Reihe hinzuzufügen ist, sobald man sie mit 
irgend einem Gliede abbricht, durchaus keine sicheren Schlüsse ziehen lassen. 
Ein brauchbarer Ausdruck für dieses Ergänzungsglied dürfte sich aber nur 
mit Schwierigkeit ermitteln lassen. 
8. 
log (u, + x) y und log (w, — x) y 
über, welche in dem erwähnten Crelle’schen »Memoire« aus der daselbst als 
allgemeine Taylor’sehe Reihe aufgestellten Entwickelungsformel herge 
leitet worden sind. In der Gestalt, wie diese Entwickelungen dort gegeben 
sind, ist ihre Richtigkeit ausser Frage, indem sie identische Umgestaltungen 
der darzustellenden Functionen sind, und dem allgemeinen w ten Gliede jedesmal 
der ergänzende Rest beigefügt ist. Anwendbar sind sie jedoch nur, insofern 
sich dieses Ergänzungsglied der Grenze Null nähert, wenn n ohne Ende zu 
nimmt. Ob dies der Fall sei, lässt sich in den meisten Fällen aus der Be 
trachtung des Ergänzungsgliedes selbst nur schwer erkennen (es dürfte viel 
leicht möglich sein, den in Rede stehenden Rest durch ein bestimmtes In 
tegral auszudrücken, welches eine leichtere Beurtheilung seines Betrages zu-