NEUER BEWEIS DES FUNDAMENTALSATZES DER ALGEBRA. 
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befriedigt. Dabei ist es gestattet, die Grenzen für die absoluten Beträge von 
a 2l ^ 3 , ... willkürlich anzunehmen; es ist dann die Grenze, unter welcher der 
absolute Betrag von a 0 bleiben muss, eine völlig bestimmte. 
Da die Ausdrücke <[> a , ..., wie bemerkt, sämmtlich ganze Functionen 
von a o , a 2l ... mit positiven Coefficienten sind, so ist es erlaubt, aus der Ge- 
sammheit der Ausdrücke, aus denen die vorstehende Reihe für x zusammen 
gesetzt ist, alle diejenigen Glieder, welche dieselbe Potenz von a 0 enthalten, 
herauszuheben und durch Addition in ein einziges Glied zu vereinigen, wo 
durch man für x einen Ausdruck von der Form 
r = oo 
x = 2 &v a 6 
r = i 
erhält, wo B i — 1 und jede der übrigen Grössen B v eine ganze Function 
von a 2 , « 3 , ... a o mit lauter positiven Coefficienten ist. (Dabei ist zu bemerken, 
dass jede der Functionen c^, <|> a , ... durch a 0 theilbar ist, also eine bestimmte 
Potenz von a 0 nur in einer endlichen Anzahl von Gliedern der für % gefun 
denen Reihe Vorkommen kann.) 
2. 
Angenommen nun, es seien c l7 c 2 , ... c irgend p bestimmte Grössen, deren 
Wahl keiner anderen Beschränkung unterworfen ist als dass unter ihnen keine 
zwei gleiche Vorkommen dürfen, und es werde 
f o (x) = (x-c^ix-c,) ...(x-c Q ) 
gesetzt. Ferner seien u 2 , ... vorläufig unbestimmte veränderliche Grössen, 
und es werde gesetzt 
f{x) = /’ 0 (z) + w 1 ^~ 1 + w 2 ^“ 2 + -.- + M i? . 
Dann lässt sich folgendes erweisen. Man kann für die absoluten Beträge 
von u a1 ... u obere Grenzen so festsetzen, dass für jedes der alsdann mög 
lichen Werthsysteme [u^ u 2l ... uj die Gleichung 
fix) = 0 
p Wurzeln besitzt, von denen jede einer der Grössen c 2 , ... c so nahe 
kommt wie man will.