266 ÜBER DIE GEODÄTISCHEN LINIEN AUF DEM DREIAXIGEN ELLIFSOID. 
Wenn d zwischen ß und a liegt, so erfahren die gegebenen Ausdrücke 
nur leichte Modificationen. In dem besondern Falle, dass d = ß ist — wo 
es sich um kürzeste Linien handelt, die durch einen Nabelpunkt der Fläche 
gehen — verwandeln sich die vierfach periodischen Functionen in dreifach 
periodische. Dasselbe geschieht, w 7 enn a = ß oder ß — y; in jedem dieser 
drei Fälle werden x,y,z,s durch ^-Functionen eines Arguments und durch 
Exponential-Grössen ausgedrückt, und zwar in der Form, die sich zuerst in 
einer von Herrn Luther herausgegebenen hinterlassenen Abhandlung Jacobi’s 
findet. *) 
Für die übrigen Flächen zweiter Ordnung behalten die Formeln ganz 
dieselbe Gestalt, es treten nur statt der hier vorkommenden ^-Functionen 
andere auf, und die Constanten u\ A, B u. s. w. werden durch Integrationen 
zwischen anderen Grenzen bestimmt. 
Wenn a — y eine kleine Grösse ist, wie dies bei dem Erdellipsoid eintritt, 
so lassen sich die in den Ausdrücken von x, ?/, s vorkommenden Quotienten 
auch in rasch convergirende Reihen von der Form 
2A r>r / COS 7C (VV + v'v') , 2 v' si n 71 (VV + v'v') 
verwandeln; und ebenso ist es möglich, x, y, z durch Reihen von derselben 
Form, in denen aber u, v' lineare Functionen von s sind, darzustellen. Auf 
die Entwicklung dieser Reihen, wodurch man Formeln erhält, die bei geodä 
tischen Rechnungen, mag man nun die Erde als ein dreiaxiges oder, wie 
bisher, als ein Rotations-Ellipsoid betrachten, auch als praktisch brauchbar 
sich erweisen dürften, kann ich indessen hier nicht eingehen. 
*) Astron. Nachrichten Bd. 41, S. 210 und Journal für Mathematik Bd. 53, S. 335.