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THEORIE DER ABEL’SCHEN FUNCTIONEN.
ich mir gesteckt, vollständig zu erreichen; wo sich denn als schliessliches
Resultat meiner Untersuchungen ergab, dass sich sämmtliche Abel’sche Func
tionen einer bestimmten Ordnung auf eine einzige, in einfacher Form dar
stellbare Transcendente zurückführen lassen. Damit ist aber für sie dasselbe
erreicht, was für die elliptischen Functionen Jacobi gethan hat, und was
Lejeune Dirichlet in seiner Gedächtnisrede auf den grossen Mathematiker
mit Recht als eine der bedeutendsten Leistungen desselben bezeichnet.
Die vorliegende Arbeit ist unter mancherlei äussern Hemmungen ent
standen, die mir nur von Zeit zu Zeit, und oftmals nach langer Unter
brechung, mit derselben mich zu beschäftigen gestatteten. Ohne Zweifel wird
man Spuren davon an nicht wenigen Stellen entdecken. Gleichwohl hoffe
ich, dass ihr die Sachkundigen auch in der Gestalt, wie ich sie jetzt ihrer
Beurtheilung vorlege, nicht ganz ihren Beifall versagen, und wenigstens ein
Ergebniss derselben mit Befriedigung aufnehmen werden, die Thatsache näm
lich, dass sich die elliptischen und die Abel’sehen Functionen nach einer für
alle Ordnungen gleich bleibenden und zugleich directen Methode behandeln
lassen; und ich trage kein Bedenken, zu gestehen, dass ich auf dieses Re
sultat meiner Arbeit einigen Werth lege, und es als ein für die Wissenschaft
nicht unbedeutendes betrachte.
Erstes Kapitel.
Erklärung der AM’sclien Functionen; Bestimmung der analytischen Form
derselben.
§ i.
Ich beginne mit der Ermittelung der Form, unter welcher der Zusam
menhang zwischen den Grössen x xi x^ ... x q und u x1 ?/ o , ... u dargestellt werden
kann. Zuvörderst aber möge, zur Vermeidung von Wiederholungen, hier ein
für allemal in Betreff einiger Bezeichnungen, die ich im Verlaufe der ganzen
Abhandlung unverändert beibehalten werde, Folgendes festgestellt werden.
Die ersten Buchstaben des deutschen Alphabets, o, b, c, ... sollen, sobald
nicht ausdrücklich etwas Anderes bestimmt wird, ausschliesslich Zahlen aus
der Reihe
U 2, ... Q
