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ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR-FUNCTIONEN. 
Verbindet man diese Gleichung mit den Formeln, welche Relationen zwischen 
den Modular-Functionen von u + v,u — v,u,v ausdrückten, so lassen sich eine 
Menge Relationen zwischen den Functionen Al u\, Al w 2 , A1m 3 , Al u her 
leiten, die ich aber übergehe, weil sie in keiner Beziehung zu dem Folgenden 
stehen. Es ist ferner 
lm (ui) = Inf (u) — log cn / u 
oder 
log Al (ui') — \ u 2 = log Al' («) + log Al' (m),- log Al' (u) 
4 UU 
Al (ui) = e 2 Al'(u) 2 , 
wenn man auch hier durch den beigefügten Accent andeutet, dass der Modul 
Je mit dem conjugirten Je’ zu vertauschen ist. In Verbindung mit den Formeln 
giebt diese Gleichung zusammengenommen 
Weiter hat man 
lm(w + A) = lm(w) + \EK + Eu + logdn*i — log yF, 
lm (u + K) — •§■ (w + Kf = lm (u) — \u 2 +\og<kiu — (K— E)u — \ K(K— E) — log \1c', 
Setzt man 
so ist 
-(K-E)(u + \K) = (u + Ky+\TH\ 
und man erhält aus der vorstehenden Gleichung 
Verbindet man diese Gleichung mit den folgenden 
sn(w + Ä) = cn (u + K) = — dn (m + A) 
sn(w + A) = cn {u + K) = -Je 1 
An{U+K) = dnü’