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THEORIE DER ABEL’SCHEN FUNCTIONEN. 
Dabei kann man bemerken, dass die Coefficienten von U™ und U m (x) aus 
a^a 2 ,...a Q und den Coefficienten von Q(x) rational zusammengesetzt sind, 
wie man leicht sieht, wenn man die vorhergehenden Entwicklungen in dieser 
Beziehung überblickt. 
§ 4. 
Nachdem nun ermittelt worden, welche Gestalt die Coefficienten von 
M(x), N(x), ®{x), als Eunctionen von u[, u" u. s. w. betrachtet, haben,*) kehre 
ich zu den Gleichungen (8.) des § 2 zurück. 
Wenn die Grössen (1.) des §2 sämmtlich verschwinden, so reduciren 
sich, nach den Formeln (25, § 3), cp i? cp # , ... <p ebenfalls sämmtlich auf Null, 
und daher (nach (23.) desselben §) y(x) auf P(x), sodass alsdann x %1 ... x q 
die Werthe « 2 , ... a erhalten. Man kann daher x a — « a , \JR(x a ) — die 
letztere Grösse mit Hülfe der Formel (7, § 2) — bei hinlänglich kleinen 
Werthen der genannten Veränderlichen nach ganzen positiven Potenzen der 
selben in Reihen entwickeln, die gleichzeitig mit ihnen verschwinden, und 
x i ,x 2 ,...x ( j als in der Nähe beziehlich von a t , « f , ...a liegend betrachten. 
Dann aber führen die Gleichungen (8, § 2), indem man ganz denselben Weg 
verfolgt wie bei den Entwicklungen des § 1, und wieder 
setzt, zu den folgenden: 
n „211+1 
1 
(b = l,... e), 
n = 1,... oo 
*) Wenn man die in Rede stehenden Grössen direct durch Auflösung der Gleichungen (3, § 2) be 
stimmen, und in den so sich ergebenden Formeln x[, a... durch u[, u 1 
.. ausdrücken 
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wollte, so würden sie die Gestalt von Brüchen erhalten, hei denen Zähler und Nenner gleichzeitig ver 
schwinden, sobald man in zweien oder mehreren der unter (1, § 2) aufgestellten Reihen die gleichstelligen 
Glieder einander gleich setzte. Um diesen Uebelstand zu vermeiden, der sich schon bei Anwendung des 
Abel sehen Theorems zur Herleitung der sog. Additions-Formeln für die elliptischen Functionen zeigt, ist 
das im vorhergehenden § auseinandergesetzte, allerdings etwas umständliche Verfahren gewählt worden, 
tibiigens lassen sich die Gleichungen (3, §2), auch ohne \ r li(xi), Viv(x"), ... in unendliche Reihen aufzulösen, 
so umformen, dass derselbe Zweck erreicht wird, was namentlich in dem besonders wichtigen Falle, wo 
^ = 1 ist, keine Schwierigkeit macht.