THEORIE DER ABEL’SCHEN FUNCTIONEN. 
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Bezeichnet man nun die Reihen, welche' in dem Ausdrucke irgend einer 
der Functionen y(u i: .. .) x , cp(^ x ,.. .) 2 u. s. w., hei einem bestimmten Werthe 
von [i, den Zähler und den Nenner bilden, mit F 7 , 6r, sowie mit F', G' die 
selben Reihen für irgend einen andern Werth von so stimmen, nach dem 
oben Bemerkten, die Reihen, in welche die Brüche 
F ZI 
G ’ G' 
bei hinlänglich kleinen Werthen von entwickelt werden können, 
vollständig überein, und es besteht daher die Gleichung 
F _ F' 
G ~ G' 
jedenfalls für alle Werthe von u x ,u^...u , deren absolute Beträge kleiner 
als gewisse Grössen sind, und somit, nach dem soeben Bewiesenen, über 
haupt für diejenigen Werthe dieser Veränderlichen, bei denen die Reihen 
F ) G, F\ G' alle vier convergiren — wodurch die Richtigkeit des Behaupte 
ten dargethan ist. 
In ähnlicher Weise lässt sich ferner zeigen, dass man nach Bestimmung 
von aj 4 , flj 8 , ... x auch für die Wurzelgrössen \jR(xJ, \jB(x 2 ), ... S/B(x Q ) ver 
mittelst der Formel (6.) stets dieselben Werthe erhalte, welche Zahl ^ man 
auch bei Bildung der Functionen M, N anwenden möge. Es ist aber be 
merkenswert]!, dass man aus der Function y(x) eine andere vom (p — l) ten 
Grade und mit Coefficienten von demselben analytischen Charakter wie die 
von cp(F) selbst ableiten kann, welche jene Wurzelgrössen liefert, wenn man 
x — x i , x 3 , ... x setzt. 
Es werde _ <p'( x ) gesetzt, und nachdem man die Gleichung 
mit 
du b 
vIZM 
c 2 x c —a b 
dx c 
№ 
(x a -a b )F'(ct b ) 
multiplicirt, auf beiden Seiten in Beziehung auf i> summirt. Dies giebt 
y(a b ) t du b = <p(a b )F(x c ) dx c 
T F\a b ) * x a —a b ti 2 {x a -a b )(x c -a b ) F'(a b ) \jR(x c ) '