ÜBER DIE ENTWICELUNG DER MODULAR - FUNCTIONEN. 
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so findet sich 
r* (u+K) 
\ e 
(5.) 
«- ' •Aa(M+i) 1 = -^e* T ““AI(«) 1 , e i<uJrKy Al{u+K\=.-\IÜ /"‘“Al«,, 
%t(u+K)\ uu x r (i l+ Kf 1 4jrZiiu x 
e Al(«+i£),= V* e Al(w), A1(m+A) = —e A1(m) 8 . 
y /C 
Vertauscht man in der obigen Gleichung 
log Al (w +.ff) = log Al («),- (K-E) (u + * K) + log -U 
y k> 
k mit k\ so ergiebt sich 
logAl'(w + A') = logAl'(w) 3 — (K'—E')(u + j-A') + log 
oder vermöge (4. 
\lTc 
log Al (ui + K'i ) 2 -1 (w + K'Y = log Al (m) 3 -1-u 2 - ( JT— E')(u + j r K') + log —, 
oder, wenn — für u gesetzt wird, 
Wird nun 
log Al (u + K'i) 3 = log Al (w),— FF« (w + •§• A'«) + log —h-. 
\k 
gesetzt, so folgt hieraus 
e 
A 
Al (u + K'i) 2 = -~e 2 ™ M Al(w) 3 , 
und mit Rücksicht auf die Formeln 
, , T r,-\ 1 . 1 dnw , , 1 chm 
sn (u + Ki) — -j , cn (u + Ki) = , dn(w + AG = 
v ' kann v ' la snM v ' 
» sn« 
zusammengenommen 
ri \u+K'i) 
1 e 
(6.) 
e 'Al{u+K'i\ = ~^e i ~ Jwu A\(u), e i ^ U+K '' ) \\{u+K'i') = i\/k e* 1 '““Al(u)„ 
*-t’ (u+K'if 1 It'mt l+(u+K'iy \x'uu k , 
e A\(u+Ki) 2 — —e Al(w) 3 , e ; Al(w+AG 3 = yVce A1(m) 2 . 
Aus (5, 6) folgt sofort weiter 
iT(ii+2Ä') a i-zuu , , , x at(ìì+2JC) 2 atm« 
e A1(w + 2A) 1 = — e A1(m),, ; A1(m + 2A) 2 = — e~ Al(w) g , 
* -i^(u+2Ky > -\xuu , . -*. t (M + 2£') 3 , , 4rTUU 
e Al(u + 2K) 3 — e Al(w) a , e ; Al(w + 2A) = e~ Al(w).