THEORIE DER ABEL’SCHEN FUNCTIONEN. 
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Von diesen Gleichungen gehen Nr. (1.), (2.), (3.), (4.), (5.) ans (L), (II.), (III.) 
hervor, wenn man in diesen R t (x) = P{x) setzt; Nr. (6.), (7.), (8.) sind die 
Relationen (IV.), wenn man y — a o nimmt, und die unter Nr. (9.) finden sich 
unter (XXVII.) des v. § und (V.). Sie stellen, wie man sofort übersieht, 
so viel Relationen unter den Functionen al(^,.. .) c , al(^,.. .) a9 und den ersten 
Differential-Coefficienten von al(w i? ...) dar, als nöthig sind, um alle diese 
Grössen algebraisch durch 
al(Wi,...)i» al(M 17 ...) 2 , ... al (u 1 ,...) ? 
(an deren Stelle je q andere der Functionen al(w i ,...) a treten könnten) aus 
zudrücken, ohne dass in den betreffenden Formeln die Argumente u t1 ... u 
selbst Vorkommen; woraus unmittelbar weiter folgt, dass auch die höheren 
Differential-Coefficienten der Abel’schen Functionen algebraisch durch je q 
der letztem ausdrückbar sein werden. 
Das Integral 
§ 6. 
Die Abel’schen Integral - Functionen. 
f ( F(x t )dx t 
J 1 
F (x 2 ) F {xq ) dXtj 
\pRM Va i x ») 
? 
wo F{x) eine beliebige rationale Function von x bedeuten soll, geht, wenn 
man x lt x 2 , ... x y \jR{x l ) y \JB(% 2 ), ••• ^R(x) vermittelst der Formeln des §4 
durch u s , ... u ) ausdrückt, in eine Function dieser Argumente über, welche 
man eine »Abel’sche Integral-Function« derselben nennen kann, und 
deren analytischer Charakter jetzt näher untersucht werden soll. 
Man kann, wie weiter unten wird nachgewiesen werden, jede in der vor 
stehenden Formel enthaltene Function auf eine einzige zurückführen, die mit 
2H (m, , u 2 ,... m ) oder kürzer 2U {u t ,...) 
bezeichnet werden soll, und durch die folgende Gleichung 
(1.) 
d2tt(w u u 2 , ... w ç ) = 
V 1Ä 
24 2 P(a) 
PM 
x a —a 
_dx ± _ 
\/PM 
definirt wird, mit der näheren Bestimmung, dass ...) den Werth Null 
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