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THEORIE DER ABEL’SCHEN FUNCTIONEN. 
endlichen, übrigens beliebig gross anzunehmenden Bereich beschränkt wird, 
dieselbe in der Gestalt eines Bruches, dessen Zähler und Nenner nach ganzen 
positiven Potenzen der Argumente entwickelte Reihen sind, auszudrücken, 
während eine stets gültig bleibende Darstellungsform noch unbekannt ist. 
Angenommen nun, es sei eine derartige Function durch eine (algebraische) 
Differential-Gleichung definirt (oder auch im Vereine mit andern durch meh 
rere solche), so kann man untersuchen, ob sie vielleicht zu den gebrochenen 
rationalen, in dem eben erklärten Sinne, gehöre. Hierfür aber reichen die 
gewöhnlichen Entwicklungs-Methoden nicht aus. Es handelt sich dann darum, 
zu entscheiden, ob man, nachdem in die gegebene Differential-Gleichung statt 
der gesuchten Function ein Bruch, dessen Zähler und Nenner noch zu be 
stimmende Grössen sind, eingeführt worden, dieselbe in zwei andere, aus 
denen sie wieder folgt, so zerfällt werden könne, dass die genannten Grössen 
beide den Charakter einer ganzen Function erhalten. Dazu kann man in 
vielen Fällen mit Hülfe eines allgemeinen Satzes gelangen, der verdient, bei 
dieser Gelegenheit entwickelt zu werden. 
Wenn f{u) eine Function von u ist, welche durch eine nur ganze po 
sitive Potenzen dieser Veränderlichen enthaltende und beständig convergirende 
Reihe dargestellt werden kann, so wird der Differential-Quotient 
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wo Ä eine ganze positive Zahl bezeichnet, nur für solche Werthe von u un 
endlich gross, bei denen f{u) verschwindet. Es sei a einer dieser Werthe, 
so kann man setzen 
f(a + h) = gk m + g 1 k m+1 + •••, 
wo m eine ganze positive Zahl bedeutet und g nicht Null ist, und hat also 
wo die nicht hingeschriebenen Glieder nur positive ganze Potenzen von h 
enthalten; woraus folgt