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ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR - FUNCTIONEN. 
A. = - 
/•2a 
5-J f W 
COS 
( 2? ^ . fìx 
= ^- I F{oc) cos - 2ì ^ a;. dx + f F(x + a) cos (a + a). dar 
•'O *"{> 
= f°F(x)cos (2f + 1) --s,d;r 
B r = — f F (x) sin x. àx == ~ -F(#) sin ^ 2r * ^ *' a;. da. 
a *4> 
Uebrigens lässt sich auf die bekannte Weise zeigen, dass Fx nur auf eine 
einzige Art in eine Reihe von der angegebenen Form entwickelt -werden kann. 
Es ist angenommen worden, dass sich F x nach ganzen Potenzen von 
x in eine beständig convergirende Reihe entwickeln lasse. Diese Bedingung 
ist nothwendig, indem sich leicht zeigen lässt, dass eine nach den sinus und 
cosinus der Vielfachen von — x fortschreitende Reihe, wenn sie für ieden 
Werth von x convergirt, immer in eine Reihe der angegebenen Art umge 
formt werden kann, worauf ich jedoch hier nicht näher eingehe. Ich be 
merke nur noch, dass auch die Reihe, welche man erhält, wenn man jedes 
einzelne Glied der Reihe 
... 2t, . 2 nt 
}A 0 + A. cos — x-i \- A r cos x + 
2 0 1 a r a 
. 2- 2r~ 
+ B. sm — x + • • • + jB sin x + 
1 a r a 
wmal differentiirt, convergent und ihre Summe gleich ist, was im All 
gemeinen bei Reihen dieser Art nicht der Fall ist. Setzt man — l d ~ = F\x\ 
so folgt aus F(x + a) = F (x) 
F'(x + a) = F'{x). 
Es ist also F\x) eine Function ganz von derselben Beschaffenheit wie F(x), 
und man hat daher 
F\x) 
\A' 0 + A\ cos —¡r 
a 
, 2 rr. 
+ A r cos x + 
a 
-f- B\ sin —— x -f 
a 
2 r 
+ F' r sin x + 
a 
wo 
* = 4-/ 
2m - 
COS X . dx, 
B' r = ^ J F'(x)sin~ : -x.dx