ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR - FUNCTIONEN. 
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ist. Hier hat man nun zunächst 
A o = 1 f“F'{x).6x = 4 [i»~_F(0)] = 0; 
ferner 
also 
A = |[ F(a)-F(0)\ + ?FLl j a F(x) S m*Fx.dx = ^B,, 
*' = ~~/>(*) 
«/r\ 
2r- .. 2r7i , 
COS SUO# = ff ; 
n n r / 
-r-,,, \ 2ir . . 2Tr 
jP m = ——ff, sin — x — 
a a 
2m . . 2riz 
—— ff „ sin —- x 
a a 
2tt 2iu 2ric 2rTr 
H i>, cos — x-\ 1 JB r cos -— x H , 
a a a r a ’ 
genau dieselbe Reihe, welche man erhält, wenn man die Reihe für F'x) 
differentiirt; aber man sieht zugleich, dass dies nur darum zutrifft, weil 
F(a) = F(0) ist. Hieraus lässt sich nun sofort weiter schliessen, dass man 
allgemein in einer convergirenden Reihe erhält, wenn man von jedem 
einzelnen Gliede der Reihe für F(x) die n u Ableitung nimmt. — Ein Gleiches 
gilt für den Eall, wo man F(x + a) = — Fix) hat. 
§ 6. 
Nach dem so eben bewiesenen Satze können also die Functionen 
e Al , 
4 t n UU 
Al (m) 2 , 
1 T 0 UU 
e Al (w) 3 , 
e^ uu Al{n) 
durch convergirende Reihen, deren einzelne Glieder die Form 
ff cos r—u, Rsinr— u 
<»o <°o 
haben, dargestellt werden, und man kann auf diese Weise unendlich viele 
Entwicklungen der Hülfs-Functionen erhalten. Es mögen jedoch hier nur 
zwei davon ausführlicher behandelt werden, diejenigen nämlich, welche sich 
ergeben, wenn to 0 = 2EC, und wenn a> 0 = 2K’i genommen wird, welche, wenn 
h reell und kleiner als 1 ist, allein in reeller Form erscheinen. Zur Aus 
führung derselben bieten sich nun zwei Wege dar. Da nach dem vorigen § 
die Form der Reihen bekannt ist und auch ihre Convergenz für jeden reellen 
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