ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR-FUNCTIONEN. 
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5* 
d. h. 
(2.) 
4 tuu , 
e Al(w) = — hz 2 F(hz), 
F(*) = — hz 2 F (hz). 
Setzt man u + K'i für u in (1.), so geht rpii in yjmi —z in h*z über, und 
man hat 
fT (u+K'i)* 
Es ist aber (§ 4, (6. 
Al (u + K'i) = F (h\z). 
... .. . /- —E'(u+-\K r i)i , , 
+ = i\Jke ' ; Al(w),, 
und daher, weil jetzt 
\T(u + K'iy-E'(u + \K'i)i = ix u 2 + 
ist, 
(K-E)K'-KE' . , (K-E)K'-KE' _ 
— w-T ^ A 
7 nt 2 — r,m + - 4 
(3.) 
\//ì e~ Al(m) 1 = -^-/¿GF(h*z). 
Setzt man in dieser Gleichung u + K für u, so geht y]ici in -r\ui + ~i ) z in zi über, 
und nach § 4, (5.) erhält man 
(U AiO)„ = 
Setzt man endlich auch in (2.) u + K für w, zi für s, so erhält man (nach § 4, (5.)) 
(5.) — Al (m) 3 = F (zi). 
Setzen wir nun 
FW = S A a z w , 
wo dem Index u alle ganzzahligen, positiven und negativen Werthe zu geben 
sind, so ist 
hz 2 Y(hz) = S A a h w+1 z 2a+2 = S A^h 2 *- 1 z* a . 
Aber nach (2.) ist F(z) = —hz*Y(hz)‘ mithin muss 
Ä a = — h 2a ~ x A a _ x 
sein, woraus sich 
A Ci = (-1 )*h**A 0 
ergiebt, so dass man