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ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR - FUNCTIONEN. 
F(*) = A 0 (l-A(* 2 4-O + AV+^ 4 )-‘-- + (-l) r Ä"(^ r +*"* r ) + --*) 
erhält. Für u = 0 wird aber e*™ W Al(u) = 1 und auch z— 1, wonach sich 
J- = 1-2A + 2A 4 4- (—l) r 2Ä rr + ••• 
Ai 
ergiebt, welcher Werth durch g bezeichnet werden soll. Man hat dann 
g e* Al(u) = 1 - A(* 2 4- ¿r 2 ) + A 4 (* 4 + ¿r 4 ) -••• + (- l) r A rr (* ir 4- *♦) + — 
Ferner ist nun 
1 , x 1 1 , 1 
4-* T «F(äL) = 4~i-A**S(-l)“»“ÄV* = As(-l)'l * «*", 
t i g gi 
(2a+D a 
und 
Ä*«F(Ä*iri) = -SÄ 4 * 
F(*i) = — SA“V“. 
<7 
,2«+l 
Hiernach erhält man, vermöge der Gleichungen (3, 4, 5), wenn zugleich für 
i)ui 
(6.) 
z wieder e = cosTjw + i’sin^M gesetzt wird, 
, v 1 . 9 . IS 
g \lc e Al(«) x = 2A 4 sinnj«—2A T sin3r J M4-2A 4 sinbr t u h(—l) r 2/i 4 sin(2r + l)r < M+' 
4 j k . 1 9 SS < 8r +» 1 
V -¡p-e A1(m) 8 = 2A 4 cosr,w4- 2A 4 cos3t)w4-2A 4 cos b^u-] (-2A 4 cos(2r+l)r l M + -- 
'9 
-IT Ull 
9 SjAl(w) s = l+2Acos2ijw+2A 4 cos4yjM+2A 9 cos6Tf]M-+ f 2Ä rr cos2r/jtt4-”- 
1- TUll 
ge Al(w) = 1—2Acos2r ( w + 2A 4 cos4r ( ii—27i 9 cos6r i wH 1-2(— l) r A rr cos2rr i M + -” , 
und hieraus 
X , 9. . 15 
gn u 2A 4 sm 7;w — 2A 4 sm 3r,M 4- 2A 4 sin 5yjm 
1 — 2h cos 2yjw + 2A 4 cos 4vju — 2A 9 cos Gr t u 4 
(7.) J \j —qh u 2A 4 cos r t u + 21i 4 cos 3t,m + 2A r cos 5?^ 4 
\ A' 1 — 2h cos 2r^t 4- 2A 4 cos 4^« — 2A 9 cos 4 
1 14- 2A cos 2r t u 4- 2A 4 cos 4r t u 4- 2A 9 cos 6tjm 4 
v A' 1 — 2Acos 2r^M 4-2A 4 cos47jm —2A 9 cos 6r ( ?i 4-• •• 
Dieses sind die zuerst von Herrn Jacobi gegebenen und aus den Trans-