ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR - FUNCTIONEN. 
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formations - Formeln hergeleiteten Entwicklungen der Modular - Functionen. 
Hier beruht ihre Herleitung auf den in § 4 entwickelten Eigenschaften der 
Hiilfs-Functionen, und man erhält zugleich die Ueberzeugung, dass sie für 
beliebige (reelle oder imaginäre) Werthe des Arguments wie des Moduls gelten; 
aber man sieht, dass die Herleitung auf dem hier eingeschlagenen Wege durch 
aus nicht strenge sein würde, wenn nicht vorher bewiesen wäre, dass die 
Eeihen auch für imaginäre Werthe von u convergiren; denn die Bestimmung 
der Coefficienten wurde nur dadurch gewonnen, dass u + 2K'i für u gesetzt 
ward. 
Setzt man in (6.) k' für k und ui für w, so erhält man vermittelst der 
Gleichungen (4.) des § 4 sofort, wenn man 
7*' = e K ' g' — 1 - 2ä'+ 2]/- 27/ + • • • 
setzt, 
Dies ist die erwähnte zweite Art von Eeihen für die Hülfs-Functionen, welche 
man auch auf eine ganz ähnliche Weise wie die unter (6.) aufgestellten hätte 
herleiten können. 
Es soll jetzt noch gezeigt werden, wie man zu denselben Eesultaten durch 
Transformation der in § 2 entwickelten Differential-Gleichungen gelangen kann. 
§ 7. 
Die Functionen 
genügen nach § 2 sämmtlich der partiellen Differential-Gleichung 
(a)