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(3.) 
44 ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR - FUNCTIONEN. 
Somit erhält man, wenn man wieder tjm für t setzt, 
e* XUU Al(u) l = 27«* sin 7^ — 2/«* sin 3r t u + 27« v sin or t u 
’ 7j 
y/— e 2 A1(m) 2 = 2h* cos r t u + 2h* cos 3r,M + 27« * cos 5r ( w + • • • 
y/— e 2 TUU Al (w) 8 = 1 + 2h cos 2r t u + 2/i 4 cos 4r ( w + 2h° cos 6t,m 4— 
\f — e 2 ™ 21 Al(u) = 1 — 2/i cos 2r ( w + 27i 4 cos 4r ( w — 2/i® cos 6t ( m H—, 
T 
ganz wie im vorigen §, nur dass hier zugleich für den durch die unendliche 
Reihe 
1 —27« + 2/i 4 —2/i 9 H— 
gegebenen Ausdruck g der Werth ^/— gefunden ist. 
Anmerkung. Es seien 2m+l, 2w zwei ganze Zahlen ohne gemeinschaft 
lichen Factor, und 2m', 2?f+l zwei andere, welche der Gleichung 
(2m + 1) (2n' + 1) — 2n. 2m' = 1 
genügen, 
- = ( 2ffi + ^ ii+ 2#jr< - = 2m ' K +( 2 »' + 1 )^- * = 
TT „ (0 
= —, 0 = TT, 
¿2«) o) 
£TWM . , , x 
— e Al(«), = Al(i)„ 
/ 1 * zun — 
~ e A1(m) 8 = Al (0 3 , 
-» 
, t = Y)M, 
ai(*o, = m\ 
\VUU 
e A1(m) = A1(0, 
so bestehen — nach §4,(12.) — auch für diese Functionen die Gleichungen 
(!•)? un< f auch sie können daher dem § 5 gemäss in convergirende Reihen 
von der iorm (2.) entwickelt werden. Da sie ferner, wie oben bewiesen 
worden, sämmtlich der Differentialgleichung (g) genügen, und auch Al^)j» 
-A-1(0 2 ) Al(O a > -A-l(i) verschwinden, wenn man für u resp. die Werthe 2un, 
to + 2(0«, (o + co«, (ui setzt, sowie die vorher betrachteten Functionen Null 
wurden für 2Ki, K+ 2/i¿, K+Ki, K'i, so erhellt, dass man auch hier ganz 
unverändert die Gleichungen (2.) erhalten muss. Die Constanten u 0 , h 0) r 0 , d 0 
können freilich nicht auf dieselbe W eise bestimmt werden j man findet aber ver-