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48 ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR - FUNCTIONEN.
Man hat
(1-äV)(1-AV*) = 1 - 27f cos 2t,m + 7* 2r = (1 — A r ) 2 + 47t sin tjm*
(1 + äV)(1 + äV 2 ) = 1 + 2Ä r cos 2r,w + h' r = (1 + 7* r ) 2 - 47t sin r ( w*
l-/i r = Ä f (Ä" f -Ä f ) = -2A*@in^& = -2A*@innjZ'
1 + 7f = (A~* + A*) = 27i* Go§ £i> = 27t 2 Go§ rr^,
also
(1-AV)(1-*V) - (l-'0‘(l+
(1+ &',>)(!-ro = (i + *T(i- si^r)-
Hiernach lassen sich die Gleichungen (1.), wenn man zugleich berück
sichtigt, dass für u — 0 = 1, Al [u\ = 1, Al(u) 3 = 1, Al (u) = 1 ist, und
daher
\Jk = 2GrJi*(l — 7t) 2 (1 — h*y •••(! — 7t r ) 2 • • •
(i + Ä*)*(i + 7* 4 )*-..(i -i-ä*-;*
\/~ = Gh 1
y/i = G(1 + Ä)’(l + A S )’ (1 + h' r+ 'Y
sein muss, also darstellen:
i«*M 1 . j sii
* AK«), = -sm^.Pjl+ gj—
sill 7jM 2
©in (2a + 2) t ( 2T 2
(2.)
tum . . , . (
e Al (m) 2 = cos r t u. P 1
e Al (w) 8 = P11
sin r t u
ßo§(2a+2)r,A' 2
sin r t U 2 1
(« = 0, 1, 2, • • • + oo)
\
(5o§ (2a + 1) r t 2T 2 j
A W N T. ( . Sm TM* )
e (w) — P | 1+ @in(2a + l)7jA ,s !*
Setzt man ui für w, k' für k, so erhält man vermittelst der Formeln (4.)
des § 4 :
