58 DARSTELLUNG EINER ANALYTISCHEN FUNCTION EINER COMFLEXEN VERÄNDERLICHEN, 
§ 1 hinsichtlich F{x) gemachten Annahmen gleichzeitig gelten. Dies ist un 
mittelbar klar hinsichtlich der beiden ersten; was die dritte betrifft, so hat 
man 
(x + hk) H .F(x + hk) — x H .F(x) (x + k) n . F (x + k) — x n . F(x) 
1c 
, F(x + Kk)-F{x) 
hk 
(x + hk) n — x n 
hk 
{x + k) n —x n 
•F(x+hk) + x n - 
hk 
F(x + k)-F(x) 
k 
k 
(x + k) n — x' 
F{x + hl) + j F(x+ _ F{x) | 
F (x + hk) — F (x) F{x + k) — F{x)) 
(x + lik) n — x' 
hk 
k 
{x+Tc) n — x n 
Jedes Glied dieser Summe wird aber, da 
, w r enn k unendlich klein 
wird, der Grenze nx n ~ l sich nähert, unter der Bedingung, dass h eine be 
stimmte Grenze nicht überschreitet, für alle Werthe von x innerhalb der 
festgelegten Grenzen mit k zugleich unendlich klein. Die Function x n . F{x) 
hat also ganz denselben Charakter wie F(x), woraus sich denn sofort ergiebt, 
dass auch der Werth des Integrals 
derselbe bleibt für alle Werthe von x 0 innerhalb der bezeichneten Grenzen. 
§ 3. 
Nehmen wir nun an, dass sich F(x) in der That in eine Reihe von der 
in § 1 angegebenen Form entwickeln lasse, also für jeden Werth von x 
innerhalb der bezeichneten Grenzen 
(3.) 
F{x) = 2 A >x v 
T==— CD 
sei, so lassen sich unter dieser Voraussetzung die Coefficienten der Reihe 
leicht bestimmen. Denn aus (3.) folgt 
F(x).x~ n — 2 A v 
1 = — GO