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ZUR THEORIE DER POTENZREIHEN. 
A. Es sei 
F(x) = ^Tä v x v 
V — — CO 
eine Potenzreihe der complexen Veränderlichen x mit gegebenen Coefiicienten. 
Ist dann r irgend eine bestimmte, innerhalb des Convergenzbezirks der Reihe 
liegende positive Grösse, so hat der absolute Betrag von F(x), wenn man der 
Veränderlichen x alle diejenigen Werthe beilegt, für welche \x \ =r ist, eine 
obere Grenze, die mit g bezeichnet werde; und es gilt der Satz: 
I A I = gr~^ 
für jeden ganzzahligen Werth von (i. 
Da die betrachtete Potenzreihe für alle, der Bedingung \x\ = r ent 
sprechenden Werthe von x gleichmässig convergirt, so lassen sich nach Annahme 
einer beliebigen positiven Grösse d zwei positive ganze Zahlen n, n so be 
stimmen, dass 
V = — YÜ ~J-l V = CO 
2 AA 2 A^ v 
y = — CO y — n -(-1 
ihrem absoluten Betrage nach kleiner sind als d, wenn | x | = r ist. Dies vor 
ausgesetzt, nehme man eine complexe Grösse £ vom absoluten Betrage 1 so 
an, dass keine der Potenzen V 1 , ... T”', £, ... £" den Werth 1 erhält, so hat man 
1 = 1 1 = 1 y = n’ 1 = 1 v = n 
'ZF(ri 1 ) = (l+l)A a +^ 2 2 2 + + 
1=0 1 = 0 V=1 1=0 V = 1 1 
wo die Grössen d^, d^ dem absoluten Betrage nach cd sind, oder 
1 
i = i 
v = n' 1 t— W + l)v v = n 1 tU + Dv 
T+T So F(r ^ = Ä ° + S Ä - vrV ' Ti+A(i-ry "Ml Av r * * (T+lKTUUy + 
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