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DEFINITION ANALYTISCHER FUNCTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN 
Dies festgestellt, nehme man nun n positive Grössen ... a n so an, wie 
im Vorstehenden angegeben worden, und setze 
a = cc 1 + --- + cc n , 
c, = ^l(l, + (m-l))’(l + «r— ,+, I 
V ! 
so hat man 
Es ist aber 
«A+ S...Ott = «Ä+ 2 
V ! 
ng 
und somit 
Setzt man also 
so convergirt die Reihe 
v + 1 
(1 + v{m— 1))(1 + a)"“ 1 , 
Lim = ng (m — 1)(1 + a) n 1 . 
r = 00 C v 
(l + a)- m+1 
ng(tn— 1) ’ 
wenn x < x, und somit die Reihe 
%(t) = «*+2 “Oi* ••• O*’ 
sicher für jeden Werth von t, dessen absoluter Betrag kleiner als x ist. 
Hiermit ist bewiesen, dass die Reihen ^(f), ... ^} n (i) stets einen gemein 
samen Convergenzbezirk, dessen Radius nicht gleich Null ist, besitzen und 
somit, wenn die Veränderliche t auf diesen Bezirk beschränkt wird, eindeutige 
und continuirliche Functionen von t darstellen, welche für x .... x gesetzt 
den vorgelegten Differentialgleichungen genügen und für t = 0 die vorge 
schriebenen Werthe a. ... a annehmen. 
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Es erhellt ferner aus der im Vorstehenden angegebenen Bestimmungsweise 
der Coefficienten von ^(i), ... dass es nur ein System so beschaffener 
Potenzreihen giebt. 
2. 
Aus dem vorstehenden Beweise für die Convergenz der Reihen (f),... $„(/) 
lässt sich ein wichtiger Satz herleiten.