§• 6. 
Ausser dem vorstehend betrachteten wahrscheinlichen Fehler der Ueberlebenden 
ist für die Anwendungen noch eine Hülfsgrösse von Bedeutung, welche durch die Summe 
aller positiven Abweichungen der Ueberlebenden von ihrem wahrscheinlichsten Werthe, 
jede derselben mit der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens multiplicirt, — oder auch 
durch die Summe aller negativen Abweichungen der Ueberlebenden von ihrem wahr 
scheinlichsten Werthe, jede derselben mit der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens multi 
pli cirt, in diesem Falle jedoch ohne Vorzeichen genommen — dargestellt wird, und 
welche man das Risiko der Ueberlebenden nennen kann. Denn denkt man sich 
die Abweichungen der Ueberlebenden von ihrem wahrscheinlichsten Werthe, absolut 
genommen, durch proportionale Geldsummen repräsentirt, so drückt offenbar die hier 
definirte Grösse eben so wohl die mathematische Hoffnung desjenigen aus, der auf den 
Gewinn dieser Geldsummen rechnet, als auch das Risiko desjenigen, der den Verlust 
dieser Geldsummen fürchtet, von welchen beiden Bedeutungen vorwiegend die letztere 
in den Anwendungen zur Betrachtung kommt. 
Bezeichnet man die genannte Hülfsgrösse mit k, so hat man aus (6) 
und wegen (4) 
]/* „ 
•OO _A2 2 ‘i 
e z dz- 
V* 
— h 2 2 2 ! 
e z dz — j- 
oo 2 hyv. 
k= . yxW(i— W) 
y ZT. 
= 0,3989 yxW(i—W) 
(10) 
welcher Ausdruck von dem wahrscheinlichen Fehler (8) sich nur durch den numerischen 
Coefficienten unterscheidet. Es können demnach die Betrachtungen der §§. 4 und 5 
leicht auch auf diese Grösse ausgedehnt werden. 
So hat man z. B. nach der Sterblichkeitstafel von Brune aus 7943 Männern 
von 40 Jahren 7847 Ueberlebende nach einem Jahre, mit einem Risiko =3,89; oder 
wenn eine Gasse, wie es gewöhnlich geschieht, die Sterbefälle aus jenen lebenden 
Männern mit Geldsummen prämiiren will, so muss sie neben dem wahrscheinlichsten zu 
erwartenden Betrage der Sterbefälle = 96 sich noch auf ein Risiko = 3,89 d. i. nahe 
4 Procent dieses Betrages gefasst halten. 
Dies giebt eine wichtige Anwendung auf die Berechnung des Risiko derjenigen 
Versicherungs-Institute, welche von der Dauer des menschlichen Lebens abhängen. Bis 
jetzt gründet sich z. B. jede Berechnung der Prämien für Lebensversicherungen nur auf 
die wahrscheinlichsten Werthe der Ueberlebenden, und zur Deckung des Risiko wird den 
so berechneten Prämien ein Zuschlag von willkürlicher Grösse gegeben. Wenn man 
dagegen bei jeder Prämienberechnung neben den wahrscheinlichsten Werthen der Prämien, 
wie solche bisher gefunden werden, zugleich unter Zugrundelegung des so eben gefundenen