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(log Vy — log Vy + l), 
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1.000 
1.242 
1.369 
1.465 
1.588 
1.742 
1.914 
2.100 
2.296 
2.500 
und ebenso logJR^+i — \og 2 v y +i— log^+i, 
mithin log B y — log B y +1 = log 2 v y — log 2 v y -\-1 
oder A log B y = A log 2v y — A log v y . 
Während nach diesen Regeln jede Zahl der Spalten 6 und 12 aus der vorhergehenden Zahl derselben 
Spalte durch Hinzufügung der betreffenden Differenz finden lässt, muss die erste Zahl in jeder dieser 
beiden Spalten direct berechnet werden. Für die Tafel der 17 englischen Gesellschaften und den 
Zinsfuss von 3‘/ 2 "/o findet man als erste Zahl der Spalte 6 
log r 99 = log ;. 99 — 99 . log 1.035 
= 0 — 99 X 0.0149403 
= 8.52091 —10. 
Rechnet man mit aufgezinsten Zahlen, so wäre 
log a 99 — log A 99 H- (100 — 99) log 1.035 
= 0.01494. 
Die Differenzen zwischen den Logarithmen der aufgezinsten Zahlen der Lebenden würden 
ganz dieselben sein, wie zwischen den Logarithmen der discontirten Zahlen der Lebenden. 
Der Rentenwerth für das höchste Alter der Sterblichkeitstabelle, dessen Logarithmus die 
erste Zahl in Spalte 12 ist, ist gleich 1, weil hier die Summe der discontirten Zahlen des betreffenden 
Alters und aller höheren Alter, da höhere Alter mit Zahlen der Lebenden nicht vorhanden sind, 
identisch ist mit der discontirten Zahl dieses Alters. In der Spalte 12 muss also, da log 1 = 0 ist, 
in der ersten Stelle 0 stehen. 
Ausser der Möglichkeit, die Zahlen eines Alters aus den Zahlen des vorhergehenden Alters 
abzuleiten, gewährt die Einführung der Differenzen noch eine bequeme Controle für die Rechnung. 
Hat man mit Hilfe der Differenzen eine längere Reihe von Werthen berechnet, so kann man zur 
Controle die letzte Zahl auch nach der gewöhnlichen Weise berechnen, und stimmen die Resultate 
überein, so kann man annehmen, dass alle berechneten Zahlen richtig sind. Diese Annahme ist zwar 
nicht absolut sicher, da zwei oder mehr Fehler in der Rechnung stecken können, welche sich gegen 
seitig auf heben, aber sich gerade auf hebende Fehler kommen im Allgemeinen nur selten vor. 
Ausserdem bieten die Differenzen-Reihen noch den Yortheil, dass auffallende Sprünge in denselben 
auf Rechenfehler in denjenigen Reihen aufmerksam machen, aus welchen sie abgeleitet werden. 
§ 7. Kauft jemand eine solche Rente, wie wir sie bisher behandelt haben, so 
wird er in demselben Augenblick, wo er den Werth der Rente (Mise) einzahlt, die 
erste Rentenzahlung erhalten. In der Regel lässt man bei Rentenkäufen die erste 
Rentenzahlung ausfallen und zieht dafür den Werth dieser ersten Rentenzahlung von 
dem Werthe der Rente ab. Eine Rente, bei welcher die Zahlung der ersten Renten 
rate bei Beginn oder Erwerb der Rente wegfällt, nennt man auch postnumerando 
zahlbar und zum Unterschiede dagegen kann man eine Rente praenumerando zahlbar 
nennen, wenn die erste Rentenzahlung nicht ausfällt. Bei unseren Untersuchungen 
handelt es sich stets, wenn nicht ausdrücklich hervorgehoben wird, dass von post 
numerando zahlbaren Renten die Rede sein soll, um praenumerando zahlbare Renten. 
Wird die Rente jährlich mit dem jedesmaligen Betrage 1 gezahlt, so ist der 
Werth der postnumerando zahlbaren Rente offenbar gerade um den Betrag einer 
jährlichen Rentenzahlung, also um 1 kleiner, als der gewöhnliche Werth der Rente. 
Bezeichnen wir den Werth dieser postnumerando zahlbaren Rente mit i)R x , so ist 
oder 
R x — l, 
i ~b (i)Rs 
(18) 
(18 a)