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Zu demselben Resultat gelangt man auch auf folgendem Wege. Zahlt der Versicherte 
anstatt der einmaligen Prämie nur die Zinsen, deren jährlicher Betrag für den Anfang des Jahres 
r — 1 ^ r — 1 
1 f — 
-— P x , und deren Gesammtwerth 
r r 
Auszahlung der Versicherungssumme den Betrag P x ahzuziehen, es sei denn, dass der Versicherte 
hei Abschluss der Versicherung ausser der Verzinsung der Prämie P x noch die einmalige Prämie 
für die Versicherungssumme Px, d. h. P x .Px = Px 2 einzahlt. Der Werth der Zinsen und 'diese 
einmalige Prämie zusammen müssten gleichbedeutend mit P x sein. Es muss also 
LPx.Px + Px 2 
r 
sein, woraus die Formel (35 a) hervorgeht. 
Man kann aber auch für die einmalige Einzahlung P x 2 nur die Verzinsung eintreten 
lassen, diese ist dann noch zu ergänzen durch eine einmalige Einzahlung für die Versicherungssumme 
Px 2 , also durch eine einmalige Einzahlung von P x . J\- — Px 3 , an deren Stelle dann wiederum 
Zinszahlung und eine einmalige Prämie in Höhe von P x 4 treten kann, u. s. w. Der gegenwärtige 
Gesammtwerth aller dieser Zinsen muss P x sein und man hat 
^PxH-Px 2 +Px 3 H - (36) 
Dividirt man diese Gleichung durch P x , so ist 
r ~ 1 ~ ( 1+P x + Px 2 + Px 3 +.... ). 
p< 1, 
1+Px + Px 2 + 
.Px.Px ausmacht, so hat die Versicherungsbank bei 
1 
1—Px 
1 
h-* 
Px 
r 
* 1 — Px 
1 Pv — 
T — 1 
Rx 
r 
Px=l- 
—— Px, 
Eine andere sehr einfache Ableitung der Formel (35 a) ergiebt sich mit Hülfe des Werthes 
der ewigen Rente. Die Differenz zwischen einer ewigen Rente und einer Leibrente für eine xjährige 
Person ist offenbar eine ewige Rente, welche nach dem Tode der betreffenden xjährigen Person 
anfängt. Der gegenwärtige Werth dieser nach dem Tode der versicherten Person beginnenden 
ewigen Rente ist offenbar gleich der einmaligen Prämie für ein nach dem Tode zahlbares Kapital 
in der Höhe des Werthes der ewigen Rente. Es ist also 
G 00 -Px = Px.G 00 , 
oder ^ , Pj 
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