§ 12. Bestimmungsstücke der Kegelschnitte. 
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Wenn man 
nngspnnkt A 
i a mit einem 
estimmt, so ist 
r der Hanpt- 
ivolution, die 
t, wenn man 
den sechs Dia- 
s eingeschrie- 
li d i g e n B Ler 
ne i d e t. Fig. 
ämlich zu unter- 
genten oder fünf 
Diese können sein 
te und eine Tan- 
drei Punkte und 
e Aufgaben, einen 
mthält, z. B. A. 
nd zugleich einen 
mfgaben nur eine 
st ein Kegelschnitt 
im zweiten nicht, 
i vier Tangenten 
sind, nach Lehr- 
ikten der Gegen- 
X, y, z, z', y', z' 
it suchen (s. § 4. 
fünfte Tangente 
nach Lehrsatz 1. 
lschnitte, die der 
alle A. b) vier 
b., gegeben sind, 
iten des vollstän- 
en, A, A', kann 
rden. Das Auf- 
vorans, daß die 
ner der Fall ist 
inen Kegelschnitt, 
Soll ein Ke 
ucht werden, 
er gegebene 
D, E geht und 
gegebene Ge- 
Punkt 
A, welcher auf 
keiner 
r< 
der vi 
er Geraden b, 
0, ä, e 
d 
liegt, 
geht; so giebt 
es ent- 
g 
w e d e r 
keinen, oder e 
s giebt 
ei 
zwei 
Kegelschnitte, 
welche 
9' 
dieser 
Bedingung ge 
lügen. 
ch 
tde a, welche durch keinen 
?r vier Punkte B, C, D, E 
:ht, berührt, so giebt e s 
itweder keinen, oder es 
ebt zwei Kegelschnitte, wel- 
e dieser Bedingung genügen. 
Um den Fall B. a) und b) beurtheilen zu können, halten wir 
uns wieder an die allgemeinen Eigenschaften des Fünfseits und Fünf 
ecks, die sich ans näherer Betrachtung dieser Gebilde ergeben, mögen 
sie einem Kegelschnitt um- oder eingeschrieben sein, oder nicht. Es 
sei zunächst abc^ Fig. 145. a. ein vollständiges Fünfseit. Dasselbe 
enthält drei vollständige Vierseite, in deren jedem 3 und * ein Paar 
Gegenseiten sind, nämlich die Vierseite ?ob; ?c&a; 2b-Ä. Nach § 3. 
Lehrsatz 17. wird im ersten derselben die Diagonale [(3 * c) ~ (® • b)], 
sowie [(3 • *) - (c • b)] und [(3• b) - (© • c)] harmonisch getheilt. Zie 
hen wir also von (b • c) oder <A> aus nach den Dnrchschnittspnnkten 
jeder derselben mit je den beiden anderen die Geraden x ir j lt so geht 
y 1 durch den Eckpunkt (3*»). Es entsteht also an <ä> ein harmoni 
scher Strahlbüschel °^,bx^oy^. Ziehen wir im zweiten Vierseit ^ee-a 
vom Punkte (c • a) oder ose ans Gerade nach den Punkten, in denen 
die Diagonalen [(} • c) ~ (& • a)], [(3 • *) ~ (c • a)], [(3 * a) — (* • c)] 
sich schneiden, so entsteht ebenso ein harmonischer Strahlbüschel 
'ift>,cx 2 ay 2 , dessen einer Strahl y 2 durch den Punkt (2 - ») geht. Zieht 
man ferner im dritten Vierseit 2b»a von (a • b) oder © nach den 
Punkten, in denen die Diagonalen [(3 • b) _ («■ • a)], [(3 •*) - (b • a)], 
[(S • a) — (e- * b)] sich schneiden, die Geraden x 3 , y 3 , so entsteht ein 
dritter harmonischer Strahlbüschel ©,ax 3 by 3 . Es sind also die 
Strahlbüschel 
<A>,bxjcy,; i«>,cx 2 ay 2 ; ©,ax 3 by 3 ; 
harmonisch. Wegen der Harmonie -ist auch 'iiî>,ax 2 cy 2 harmonisch, 
denn es ist 
sin ex 2 
8ÎN ax. 
sin CV 2 
sin ay 2 
1, oder 
sin ex 2 
sin nx2 
sin cy 2 
sin ay 2 
also auch 
sin ax 2 
sin ex 2 
sin ay„ , sin ax* 
— -—^ oder 
sin ey 2 sin ex. 
sin ex 2 
sin cy 2 
1. Dieser Strahlbüschel ist also con- 
form dem ersten -<l°,bx ^ ey,, und beide haben den Strahl c gemein, 
liegen demnach perspectivisch; und zwar muß die Projectionsaxe durch 
den Punkt (a - b) und (yj • y 2 ) d. h. durch © und (2 •«.) gehen; es ist 
also der Strahl y 3 die Projectionsape. Da ferner der Büschel 
A>,ax2oy 2 harmonisch war, so ist dieß auch mit il^ay^^ der Fall; 
und, da sie den Strahl 0 gemein haben, so ist auch Vb,ay2ox2 mit 
-A>,bx,cyj perspectivisch für eine Projectionsape 2, welche ebenfalls 
durch (a • b) oder © geht. Es entsteht aber nach § 3. Lehrsatz 16., 
indem man die harmonischen Strahlbüschel -^bx^ey, und vEox^ay^ 
auf doppelte Weise in perspectivische Lage bringt, ein vollständiges 
Viereck, in welchem ©, A>, x die Durchschnittspunkte der Gegenseiten