§ 19 Bewegungsgröße u. Energie d. gleichförm. bewegt. Elektrons 159 
Die letztere Formel hätte natürlich auch aus (113 a) ab 
geleitet werden können, da ja nach (103) die doppelte magne 
tische Energie dem Produkte aus Geschwindigkeit und Impuls 
gleich ist. Entwickelt man die beiden letzten Ausdrücke in 
Reihen, die nach Potenzen von ß 2 fortschreiten, und vernach 
lässigt Größen der Ordnung /3 4 , so wird 
(113e) . U-U 0 -f a , r-'K-i*- 
Für Bewegungen des Elektrons, deren Geschwindigkeit 
klein gegen die Lichtgeschwindigkeit ist, ist die elektrische 
Energie von der Geschwindigkeit unabhängig, während die 
magnetische Energie dem Quadrate der Geschwindigkeit pro 
portional ist. Erstere ist mithin der potentiellen, letztere der 
kinetischen Energie der gewöhnlichen Mechanik zu vergleichen. 
Diese Analogie ist nicht auf geringe Geschwindigkeiten be 
schränkt; die Ableitung der Gesamtenergie und des Impulses 
aus der als Differenz der beiden Energiearten bestimmten La- 
grangeschen Funktion, die für beliebige Geschwindigkeit galt, 
erinnert an Beziehungen, die aus der analytischen Mechanik 
bekannt sind; wir kommen hierauf im nächsten Paragraphen 
zurück. 
Haben wir es nicht mit dem Falle der Flächenladung, 
sondern mit dem Falle der Raumladung des kugelförmigen 
Elektrons zu tun, so können wir die Lagrangesche Funktion, 
die Energie und den Impuls sofort angeben, auf Grund des 
Satzes, den wir am Schlüsse des vorigen Paragraphen bewiesen 
haben (Gl. 108). Im Falle der Raumladung werden die 
Werte der Kräftefunktion, und demnach auch diejenigen 
der Energie und des Impulses, aus den im Falle der 
Flächenladung geltenden einfach durch Multiplikation 
mit der Zahl 6:5 abgeleitet. Mit diesem Faktor sind also 
die rechten Seiten der Gleichungen (113) bis (113e) beim Über 
gänge zur Raumladung zu multiplizieren. 
Aus dem am Eingänge dieses Paragraphen und in dem 
des vorigen Gesagten geht ohne weiteres hervor, daß diese 
Formeln nur für den Fall der Unterlichtgeschwindigkeit