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Massenpunktkugel {R — a) gelegenen Teil unseres euklidischen 
Bildraumes, und zwar doppelt abgebildet. 
Zur schärferen Beleuchtung der eigenartigen geometrischen 
Verhältnisse einer der genannten nicht euklidischen „Ebenen“ mag 
als Beispiel die Kreismessung dienen. Aus der euklidischen 
Geometrie der Ebene ist uns allen wohlbekannt, daß das Ver 
hältnis zwischen Umfang und Durchmesser eines beliebig großen 
Kreises stets konstant = n = 3T41593 .. ist. Dies gilt für die 
nichteuklidische „Ebene“, wie wir leicht feststellen können, nicht 
mehr. 
Wir wollen zu diesem Beliufe konzentrische Kreise um den 
Massenpunkt betrachten und das Verhältnis zwischen Umfang 
und Durchmesser eines beliebigen solchen Kreises untersuchen. 
Der vom Beobachter auf der nichteuklidischen „Ebene“ gemessene 
Halbmesser desselben ist nicht r, sondern, wie aus Abb. 13 
hervorgeht, die zum Werte r gehörige Bogenlänge a m der Meridian 
kurve der Drehfläche, gerechnet vom Punkte S, wo sich der das 
Kreiszentrum vorstellende Massenpunkt befindet. a m aber können wir 
im Hinblicke auf (24) und (129) folgendermaßen berechnen: 
y y y 
=./ : ■''■" /• 1 + 7 ~‘ dr • j dr jA-i« - a32) 
a a cc 
r r 
Der Umfang des Kreises stimmt überein mit dem Umfange des 
zu r gehörigen Parallelkreises der Drehfläche, ist also gleich 
2ryr. Mithin ergibt sich für das gesuchte Verhälnis der Wert: 
a 
der für lim—= 0, also für sehr große Werte von r in den 
r 
euklidischen Wert übergeht: