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2. Die Congruenz. 195 
also füllt 4 D ausserhalb des Dreiecks ABC, und BD schneidet CA. Zieht 
man nun CD, so ist £ CDA > £ BDA, also ein stumpfer Winkel, mithin ist 
im Dreieck CDA die Seite CA die grüsste, also auch CA > DA, was zu be- 
weisen war. 
$ 20. Unmittelbare Anwendungen. 
Die vorhergehenden Sätze dieses Kapitels bieten zunächst die nôthigen Hilfs- 
mittel für eine genauere Untersuchung der gegenseitigen Lagen 
und Linien. 
Von einem Punkte 4 ausserhalb einer gegebenen Geraden MN lassen sich 
unzählig viele Verbindungs - Strecken nach 
Punkten der letzteren ziehen. Unter allen ; A 
diesen Strecken ist die senkrechte die 
kürzeste (1), denn ist AB senkrecht und AC 
schief zu £C, so ist im rechtwinkeligen Dreieck 
ABC die dem rechten Winkel gegenüberliegende gr 
Seite AC die grósste. Die Senkrechte 472 wird E- € p D 
daher auch der Abstand oder die Entfer- 
nung des Punktes 4 von der Geraden MN 
genannt. 
Von den vom Punkte 4 nach der Geraden MN gehenden Strecken 
sind ferner je zwei, welche zu verschiedenen Seiten der Senkrechten 
4B so liegen, dass ihre Fusspunkte C, D vom Fusspunkt Z der Senk- 
rechten gleich weit abstehen, von gleicher Linge (2. Denn ist BC 
= BD, so stimmen die Dreiecke ABC und ABD in zwei Seiten und dem ein- 
geschlossenen (rechten) Winkel überein, sind also congruent, und mithin ist AC 
Ez 7). 
Umgekehrt lässt sich in entsprechender Weise leicht zeigen, dass aus der 
Gleichheit der Strecken AC, AD auch die der Strecken BC und BD folgt, so- 
wie ferner, dass in diesem Fall auch die Winkel ACB und ADB gleich sind. 
Sind dagegen die Abstände der Fusspunkte zweier Verbindungs- 
strecken vom Fusspunkt der Senkrechten ungleich, so gehórt zu dem 
grósseren Abstand die lángere Verbindungsstrecke und der kleinere 
Winkel derselben gegen die Gerade (3). 
Ist nämlich ZB > CB, und nimmt man an, dass C und Z nach derselben 
Richtung der Geraden MV von B aus liegen — was immer erlaubt ist, da man 
anderenfalls nur eine der beiden Strecken durch die ihr nach dem vorhergehen- 
den Satze gleiche zu ersetzen braucht — so ist Z ACE als Aussenwinkel des 
Dreiecks ABC grösser als der ihm gegenüberliegende rechte ABC. Jener ist 
also ein stumpfer, und es liegt ihm also im Dreieck ACE die grösste Seite 
gegenüber. Somit ist AZ > AC. 
Der Winkel ACB aber ist als Aussenwinkel des Dreiecks ACE grôsser als 
der Winkel AZC. 
Auch dieser Satz lässt sich, wie leicht zu beweisen, umkehren. 
von Punkten 
  
  
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Aus den vorstehenden Entwicklungen ergiebt sich, dass wenn man die zu MN senkrechte 
Gerade AZ um À dreht, der Winkel beider Geraden zuerst fortwährend abnimmt, der Richtungs- 
unterschied beider Linien also um so kleiner wird, je mehr die Gerade AZ sich der parallelen 
Lage mit MV nähert. Dies stimmt mit der früheren Anschauung, wonach parallele Linien gleiche 
Richtungen haben, überein. 
Von einem Punkte 4 lassen sich nach dem Vorstehenden nach einer Ge- 
13°