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Zweite Abtheilung. Neuntes Capitel.
Ferner ist klar, dass von den Ebenen, welche auf der durch
cpx und cp. 2 vollkommen bestimmten Richtung senkrecht sind, nur
diejenigen vier Ebenen, aber auch alle vier, die Wellenfläche be
rühren, für die man hat r 2 = v a 2 , r 2 = Vß 2 , oder r = -f- v a ,
v = — v f( , r = -j- Vß, r = — Vß. Demgemäss wird die Wellen
fläche durch folgende Gleichung dargestellt:
(r 2 — v a 2 ) (r 2 — Vß 2 ) = 0, oder:
[r 2 — s — t cos. (cp x -f- <jp 2 )] [r 2 — s — t cos. (cp! — <p 2 )] = 0,
und es erübrigt, um die Plan-Coordinaten-Gleichung der Wellen
fläche zu erhalten, nur mehr an die Stelle von r 2 , cp x und qp 2
Ausdrücke in Plan-Coordinaten zu setzen. Dies bewerkstelligen
wir durch die folgende Rechnung.
Die Gleichung der durch r, <p x und cp 2 bestimmten Tangen
tial-Ebene in gewöhnlichen Punkt-Coordinaten sei:
U*#-}-V*t/-f-W*3=l,
alsdann sind u, v, w die Plan-Coordinaten der Ebene, und man
hat, unter a, ß, y die Winkel verstanden, die ihre Normale mit
den Coordinaten-Axen einschliesst:
r 2 = —-—: ^—: -, COS, « == U • V, COS. ß = V • V, COS. V — W • V.
1^2 —|— y * —J— "W*
Sonach hat man nach der bekannten Formel für den Cosinus
des Winkels zweier geraden Linien:
cos. (pi = — cos. X• cos. a-\-cos.Z • cos. y=r (u cos. X-(- w cos. Z),
cos.cp2 = — cos. X-cos.a-\-cos. Z-cos.y = r (—u cos. X-j-w cos.Z).
Ehe wir diese Werthe in die gefundene Gleichung der Wellen
fläche einsetzen, formen wir diese zuerst noch um in:
— (V + y) r2 + v a ' y = °‘
Es ist aber:
v a 2 Vß 2 — 2s 2t cos. qp x cos. <p 2 , und:
v a 2 Vß 2 — S 2 -J- t 2 (cos. Cpx 2 cos. cp 2 2 — sin. cp x 2 sin. cp 2 2 )
-)- 2 st COS. <jp! cos. cp 2
— S 2 t 2 -(- t 2 (cos. cp! 2 -j- COS. (p2 2 ) -(- 2st COS. cp! cos. cp?,.
Setzen wir in diese Ausdrücke nun die gefundenen Werthe
von cos. 9?! und cos. cp^, so finden wir erstlich:
v a 2 -j- Vß 2 = 2 s -j- 2 t • r 2 (w 2 cos. Z 2 — u 2 cos. X 2 ), oder, da
r 2 (u 2 -j- v 2 -j- w 2 ) = 1 ist:
v ( 2 -f- Vß 2 = 2r 2 [u 2 (s — t cos. X 2 ) -J- v 2 • s -j- w 2 (s -j- t cos. Z 2 )~\
= r 2 [u 2 (b 2 -(- c 2 ) 4- V 2 (« 2 -f c 2 ) 4- w 2 (a 2 -f Z> 2 )] = r 2 A.
