340 Zweite Abtheilung. Neuntes Capitel. 
fläche eingehen müssen; wir wollen daher hier schon ihre Glei 
chungen aufsuchen, und dabei uns des Verfahrens bedienen, 
welches PI Ücker angegeben hat. 
Eine Ebene, welche durch einen singulären Punkt der Wel 
lenfläche gelegt wird, schneidet diese offenbar in einer Curve, 
für die der singuläre Punkt ebenfalls als solcher auftritt. Von 
der Lage der Ebene aber hängt dann weiter die Natur der Sin 
gularität ab, welche die Curve erlangt, ob nämlich der Punkt 
ein eigentlicher Doppelpunkt, d. i. der Durchschnitt zweier reeller 
Aeste werde, Fig. 181, oder ein isolirter Punkt, Fig. 182, oder 
Fig. 181. Fig. 182. Fig. 183. 
endlich, was den Uebergang jener beiden Fälle bildet, ein Rück 
kehrpunkt, Fig. 183. Ein Rückkehrpunkt kommt nun offenbar zum 
Vorscheine, wenn die Ebene die Wellenfläche berührt. In derThat, 
eine Tangential-Ebene im singulären Punkte schneidet die innere 
Schale der Fläche nicht, wohl aber die äussere, und zwar diese 
in einer Curve, dei’en Tangenten im singulären Punkte die beiden 
zusammenfallenden Geraden sind, welche der Tangential-Ebene 
und dem ßerührungs - Kegel gemeinsam zukommen. In jenem 
Punkte wird daher die Durchschnitts - Curve eine Spitze, einen 
Rückkehrpunkt aufweisen. Uihgekehrt wird auch, sobald dies 
der Fall ist, die Ebene der Durchschnitts-Curve die Wellenfläche 
berühren. 
Die Gleichung irgend einer Ebene, die durch den singulären 
Punkt geht, sei nun: 
r u« -j- vy -(- yvz £== 1. 
Projiciren wir die Curve, in welcher sie die Wellenfläche f 
schneidet, auf die xy-Ebene, so erhalten wir für die Gleichung 
dieser Projection: