76 FORMULES NON LINÉAIRES DES FLUX ÉMIS PAR LES CORPS :
acquièrent par unité de temps a donc l’expression (i5); et celle-ci
égale dès lors l’accroissement correspondant, ou la dérivée en /,
vent général), la somme de deux termes, l’un, en U, l’autre, en U'> 233 ou, plus
généralement, en U 1+2 % avec s de l’ordre de 0,1; et ce flux a son expression de
la forme AU(i-+- A'U 2e ). Pour plus de simplicité, faisons constants non seule
ment e, mais aussi k et A', d’ailleurs positifs comme e.
Soit alors un corps de volume ra, de surface <r et à température sensiblement uni
forme U, ou dont la chaleur en excès est Cob et donne par unité de temps le flux
total —Ce?—• Ce flux y ayant la valeur AaU(i + k' U 2e ), le rapport, — ^ -jj'
de la vitesse du refroidissement à l’excès U de température, sera ~ (1 -t- k' U 2£ ) :
conformément aux expériences de Fourier (t. I, p. 2^3), il décroît avec l’excès U
et n’est sensiblement constant que pour d’assez petites valeurs de U.
Si l’on cherche, par exemple, ce que devient, dans ces conditions, le problème
très simple de l’état permanent d’une armille, l’équation différentielle (a) de ce
problème (même t. I, p. 260) prend la forme, en remettant désormais u au lieu
de U,
(“1)
cl 1 u
dx 2
=hu (1 -+- k'u 1 '-).
Évaluons le rapport ■ 1 ^ ' 1 considéré spécialement par Fourier [ t. I, p. 261,
form.(P)], en nous bornant au cas d’intervalles S assez petits. L’expression appro
chée, bien connue, de la dérivée par le moyen d’une différence seconde,
donnera
u t -+- u_ t — 2 U d-u
S 2 doc 1 ’
ou bien, vu (x,) et en isolant le rapport cherché,
/T) 2
— — =1-1—-—— (r + A'u 2E )= (sensiblement) coh [0 dh( 1 -+- A' u- c - )]•
2 u 1.2 ’
On voit qu’il croît avec u et ne se réduit à la constante coh (8 s]h) que lorsque
l’excès u est assez petit.
Cherchons enfin ce que devient la loi de Lambert, pour une barre prismatique
s’étendant, le long de l’axe des x, depuis l’origine x = o jusqu’à x — 00, et ayant
son extrémité x = 0 chauffée à une température en excès donnée u 0 .
L’équation (x^, multiplié par 2 dx, puis intégrée de manière que u et sa
dérivée négative s’annulent à l’infini, donne, en divisant finalement par id,
1 du
1 did , ! k'
~~r, —,—; — kl 1 -f-
u 1 dx 2 V 1 + s
u dx
= i h
k'
I -1- £
Le rapport, à l’excès u, de sa pente — > décroît donc avec u, un peu comme
