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ÉQUATION INDÉFINIE DES TEMPÉRATURES D’UNE BARRE.
212. Équation indéfinie des températures de la barre. —-
Appelons enfin S(¿, X) le débit donné, par unité de volume,
des sources calorifiques existant dans le tronçon cdX, ou
(3 9 ) S (e,X)<rdX
leur débit effectif dans l’unité de temps. Ce sera évidemment la
somme des trois expressions (35), (38), (3g) qui évaluera l’ac
croissement correspondant, c’est-à-dire la dérivée en ¿, de la cha
leur du tronçon, laquelle est, à une constante près, (Cm) (d<rdX)
pour une fibre et, par suite, C ( u du) dX, ou CUa-c/X d’après
\ CT
(34), pour tout le tronçon, il vient donc, comme équation indé
finie des températures dans la barre,
(io)
d* U
~dX*
-?(U)-t-S (t,X).
Notre démonstration subsiste même dans le cas exceptionnel oîi
les fibres longitudinales seraient isothermes; ce qui donnerait aux
courants de chaleur une tout autre direction que celle de l’axe de
la barre et rendrait inapplicable, du moins d une manière immé
diate, l’autre démonstration également indiquée dans la X e Leçon
(t. I, p. 154).
Mais, ici où U s’annulera partout initialement, et même toujours
aux distances infinies de l’origine,sans qu’aucun changement sur
vienne dans les températures extérieures, les courants chemine
ront très sensiblement le long des fibres, et cette autre démon
stration s’appliquera, si l’on veut. Elle aurait même l’avantage de
montrer, plus intuitivement encore que la précédente, Y identité
du coefficient de conductibilité A 2 , avec la conductibilité K du
corps pour les courants calorifiques orientés suivant Caxe de
la barre, ou avec le carré du demi-diamètre de même direc
tion dans Vellipsoïde des conductibilités.
plaques dont les faces sont soumises à deux températures extérieures inégales
et ont leurs conductibilités superficielles k, k' variables avec la température
intérieure U. La fonction œ(U) s’y accroît du terme — ~ {ku e -+- k'u' e ), alors
dépendant de U. Mais tp(U) s annule encore pour U = o, grâce au choix, comme
zéro, d’une température convenable, intermédiaire entre u e et u' e .
