RÉDUCTION, EN SÉRIES, DE L’INTÉGRALE DU PROBLÈME. 121
et la relation (go) donnera tz-c, = Q, ou c K = — L’expres
sion de la température permanente u sera donc, d’après (85)
et (90),
(97) (pour une plaque) l
r'({) tsin*a\ . . ,
—f lo"- coh (x. cosa) da,
r(t) b , 2 I
V — [JL r
— [J. \/ç 2 -+- Y, 2 .
232. Développement en série de l’intégrale obtenue. — Le
calcul de cette expression (97) et, plus généralement, de l’inté
grale (85) de l’équation différentielle (84) peut se faire, en les
développant en séries, toujours convergentes, suivant les puis
sances entières et positives de t, à part le facteur logt que contient
en plus, dans tous ses termes, l’une des séries.
A cet effet, on remplacera le cosinus hyperbolique, figurant
dans (85) ou dans (97), par la somme
r 2 cos 2 a n^cos^a v 6 cos 6 a
1.2 1.2.3.4 1.2.3.4.5.G
et, d’une part, on observera, dans le produit développé et intégré
de cette série par c + c 1 (logt -f- 2 log sina), que
(99)
/
0
cos 2 « a r/a
2 2 4
111 — 1
2 n
d’autre part, on effectuera comme il suit le calcul des intégrales
définies, également introduites par le développement,
(100)
— OC = -
l n — / cos 2 «a log sin a c/a -- / cos 2 « -1 a d(sina log sina — sina).
'A '-a=o
L’intégration par parties y donne, vu l’annulation, aux limites,
du terme intégré, et vu aussi que sin-a= 1 — cos 2 a,
71
[=(2 n— 1) / (cos 2 "- 2 a — cos în a)(log sina - 1) c/a
«'0
— (2/7. — 1) I„_,— (2/1 — 1 ) 1 «—(2/1—-1) y f cos 2 "~ 2 a o/a — f cos 2 «a a/a