INTÉGRATION DE L’ÉQUATION DU PROBLÈME.
I 23
géométrique -• C’est dire que la valeur moyenne arithmétique de
log sina estlog ou que T 0 = ~ log-* '
Il viendra donc, successivement :
( I 02 )
Le développement, toujours convergent, des différentes parties
de l’intégrale définie (85), ou (97), suivant les puissances entières
et positives de t, pourra donc s’effectuer, avec le facteur logt en
plus dans chacun des termes de l’une des deux séries affectées du
coefficient c ( .
N’ayant pas d’application à faire ici de la formule (97) de u, je
m’en tiendrai là au sujet de son développement en série. Mais je
chercherai encore son expression asymptotique, qui joint, à l’avan
tage d’une grande simplicité, celui de permettre la comparaison
du cas actuellement étudié d’une plaque, où n — 2, aux autres
cas, traités précédemment, d’une barre et d’un corps massif, où n
avait les valeurs respectives 1 et 3.
233. Autre forme de la même intégrale, obtenue par une mé
thode de Laplace. — La formule asymptotique dont il s’agit, ou
formule de u ajaprochée à une erreur relative près évanouissante
quand t grandit indéfiniment, ne serait peut-être pas facile à dé
duire de l’expression (97). Mais elle résulte immédiatement d’une
autre forme de l’intégrale, que donne une méthode de Laplace
pour intégrer les équations différentielles linéaires et à coeffi
cients linéaires eux-mêmes. C’est bien le cas de notre équa
tion (84), écrite ainsi
(io3)